Теорема. Если - тотальная биекция, то отношение (обратная функция) является биекцией.

Если - тотальная биекция, то отношение (обратная функция) является биекцией.

Доказательство

1) Покажем, что - функция

Пусть , . Тогда и , но f – инъекнктивна, следовательно и - функция.

2) Покажем, что - инъенктивна.

Пусть и , следовательно и , но f – функция, а значит .

3) Покажем, что - сюрьективна.

Проведем доказательство методом от противного. Пусть для которого такого, что . Тогда такое, что для . Обозначим этот элемент . Имеем . Следовательно , а значит , поскольку исходная функция тотальная. Пришли к противоречию.

Пример

Пусть }. Рассмотрим функцию .

Данная функция является тотальной биекцией. Исходя из условия определена для всех элементов множества А. Следовательно, тотальна.

Покажем, что функция инъективна. Предположим, что , то есть не выполняется условие инъективности. Получаем или . Значит . Следовательно, функция – инъективна. Покажем, что функция сюрьективна. Возьмем произвольный элемент b из области значений нашей функции. Ему будет соответствовать элемент , такой, что . По определению функции . Отсюда .То есть, какое бы мы не взяли значение из области значений, мы всегда найдем соответствующее ему значение из области определения. Следовательно, функция – сюрьективна.

Обратная для нее функция .