![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Линеаризация дифференциальных уравнений
Анализ и решение нелинейных дифференциальных уравнений связаны со значительными трудностями и возможны лишь в некоторых частных случаях. Поэтому в инженерных расчетах прибегают к линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений, замене их приближенными линейными. Наиболее распространенный метод линеаризации – метод малых отклонений, который основан на предположении достаточно малых отклонений входов и выходов от их установившихся значений. Пусть САУ описывается нелинейным дифференциальным уравнением: F(y(j); x(i)) =0, где y(j) – выходная регулируемая величина и ее производные (j=0, 1, 2, …, m); x(i)- входная величина и ее производные (i=0, 1, 2, …, n). Установившийся режим наблюдается при y(j)=y0(j); x(i)x0(i) и уравнения для него: F(y0(j); x0(i))=0. Если в результате изменения входной величины х=х0+Δ х произошло отклонение выходной величины от установившегося режима, то уравнение переходного процесса: F(y0(j)+Δ y(j); x0(i)+Δ x(i))=0. (3.1) Разлагаем в ряд Тейлора (функция гладкая имеет непрерывные производные) в окрестности точки, соответствующей установившемуся режиму: F(y0(j)+Δ y(j); x0(i)+Δ x(i))= F(y0; x0)+ (величины высшего порядка малости). Вычитаем из (3.2) уравнение (3.1) и пренебрегая R, получаем линеаризованное дифференциальное уравнение:
Под знаком производных входят не сами переменные, а их отклонения Δ у, Δ х, поэтому уравнения называют уравнением в отклонениях (линейно относительно отклонений с постоянными коэффициентами. Разделив (3.3) на Δ t (при Δ t→ 0), получим дифференциальное уравнение в первом приближении:
aj=(∂ jF/∂ yj)0 j=0, 1, …, m; bi=(∂ iF/∂ xi)0 i=0, 1, …, n. Линеаризация позволяет свести широкий класс элементов и образованных ими АС к изучению их приближенных математических моделей. Статистические характеристики линеаризуются метолами: 1) малых отклонений; 2) касательной; 3) секущей (метод наименьших квадратов; 4) кусочно – линейной аппроксимации.
|