Антикризисные процессы в мировой образовательной системе

1. Дальнейшей дифференциацией специальностей и специализаций по которым производится подготовка студентов в вузах.
2. Непрерывным увеличением продолжительности обучения.
3. Возрастанием относительной доли от ВВП расходуемой правительствами разных стран на развитие своих образовательных систем, разработку и внедрение самых современных инновационных образовательных технологий.

ТЕМА: 2Устойчивость САУ

САУ устойчива если после кратковременного возмущения она возвращается в прежнее или занимает новое устойчивое положение.

ПРИМЕРЫ

Устойчива

Неустойчива

Устойчива “в малом”

Линейные САУ описываются линейными дифференциальными уравнениями (ДУ). Для решения ДУ следует найти корни его характеристического уравнения:

a) Вещественные корни

б) Комплексно-сопряженные корни

Итак, чтобы САУ была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения находились в левой полуплоскости комплексной плоскости.

Критерии устойчивости САУ – это некоторые признаки позволяющие не решая характеристического уравнения оценить устойчивость САУ.

ВНИМАНИЕ

• Характеристическое уравнение замкнутой САУ – это знаменатель ее передаточной функции Ф(s) приравненный “0”.

• Характеристическое уравнение разомкнутой САУ - это знаменатель ее передаточной функции Wp(s) приравненный “0”.

А. Алгебраические критерии устойчивости САУ

1. Критерий Гурвица (1895г.).

Пусть дано ХУ замкнутой САУ

anpn+an-1pn-1+…+a0=0 (1)

Составим определитель Гурвица из коэффициентов ХУ:

Как видно из (2):

• На главной диагонали определителя Гурвица располагаются сверху вниз коэффициенты ХУ начиная со второго.

• Выше элементов главной диагонали выписываются коэффициенты при младших степенях “р” по мере их убывания.

• Ниже элементов главной диагонали выписываются коэффициенты при старших степенях “р” по мере их возрастания.

• Остальные элементы определителя Гурвица равны “0”.

Составим главные диагональные миноры

∆ 1= a_n-1

∆ 2 =

∆ 3=

1. Критерий Гурвица:

Для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы при аn> 0 все главные диагональные миноры определителя Гурвица были бы положительны.

Примеры

1. n=1 a1p+a0=0

Условия устойчивости

a1> 0 ∆ 1=a0> 0

2. n=2 a2p2+a1p+a0=0

Условия устойчивости

a2> 0 ∆ 1=a1> 0

∆ 2= = a1a0> 0

3. n=3 a3p3+a2p2+a1p=0

Условия устойчивости

a3> 0 ∆ 1=a2> 0

∆ 2 = =a2a1-a3a0> 0

∆ 3= =a0*∆ 2> 0

Недостаток критерия Гурвица

• С увеличением “n” раскрывать определители становится трудно.

Пример для КСР

Пусть дана структура замкнутой САУ

Необходимо с помощью критерия Гурвица определить устойчивость САУ.
План исследований:

• 1. Найти передаточную функцию замкнутой САУ.

• 2. Определить ХУ замкнутой САУ и его коэффициенты.

• 3. Составить определитель Гурвица.

• 4. Определить все главные диагональные миноры и оценить устойчивость САУ по критерию Гурвица.

2. Критерий Рауса

Пусть дано ХУ замкнутой САУ “n”–го порядка:

a_npⁿ + a_n-1p^n-1 +… +a₁p + a₀ = 0

Составим таблицу Рауса из коэффициентов ХУ:

-	c11 = an	c21 = an-2	c31 = an-4	c41 = an- 6
-	c12 = an-1	c22 = an-3	c32 = an-5	c42 = an - 7
r3 =	c13 = c21 – - r3*c22	c23 = c31 –r3*c32	c33 = c41 – r3 *c42	…
r4 =	c14 = c22 – r4*c23	c24 = c32 – r4*c33	c34 = c42 – r4 * c43	…
…	…	…	…	…

Критерий Рауса

Для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были положительны, т.е.:

С₁₁> 0 c₁₂ > 0 … c_{1, n+1} > 0

Пример I для КСР

Пусть ХУ замкнутой САУ:

P⁶ + 6p⁵ + 21p⁴ + 44p³ + 62p² + 52p + 100 =0

Необходимо исследовать устойчивость этой системы используя критерий Рауса.

План исследования

1. Составим таблицу Рауса и заполним ее первые две строки.
2. Вычислим последовательно коэффициенты последующих строк.
3. Оценим знаки первого столбца таблицы и устойчивость САУ.

Итак, составим таблицу Рауса

-	a6 = 1	a4 = 21	a2 = 62	a0 = 100
-	a5 = 6	a3 = 44	a1 = 52
r3 =	21 - = 13, 65	62 - = 53, 3
r4 =

Задание по КСР:

Завершить заполнение таблицы Рауса и оценить устойчивость САУ.

Б. Частотные критерии устойчивости САУ

1. Критерий Михайлова (1938)

Дано ХУ замкнутой линейной САУ:

А(s) = a_nsⁿ + a _n-1s ^n-1 + … + a₀ = 0 (1)

Представим полином (1) в виде:

A(s) = a_n (s – s₁) (s –s₂) … (s - s_n) (2)

Где s_i – корни ХУ

i = 1, 2 … n

Положим s = jω, тогда:

А(jω) = a_n (jω – s₁)(jω – s₂)… (jω - s_n) (3)

Каждая из скобок (3) представляет собой вектор, начало которого лежит в т. si, а конец находится на мнимой оси jω. При этом возможно два варианта:

1 – корень лежит в левой 2-корень лежит в правой

полуплоскости полуплоскости

При -∞ < jω < +∞ При -∞ < jω < +∞

∆ arg (jω – s_i) = + ∆ arg (jω – s_i) = -

Итак, если ХУ A(s) = 0 содержит L корней в правой полуплоскости, то

∆ arg A(jω) = (n-2L) = (n-L) - L

Для устойчивости линейной САУ необходимо, чтобы L = 0, т.е.:

∆ arg A(jω) = n (4)

Критерий Михайлова является графической интерпретацией выражения (4).

При этом рассматриваются лишь положительные частоты, т.е.:

∆ arg A(jω) = n * (5)

Критерий Михайлова

Для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова (5) А(jω), начинаясь при ω = 0 на действительной оси с ростом “ω ” от “0” до “∞ ” обходил последовательно “n” квадрантов против часовой стрелки (где n – порядок характеристического уравнения).

Системы устойчивы

Системы не устойчивы

ПРИМЕР

Определить предельный коэффициент Кпр при котором САУ теряет устойчивость, если ее структура имеет вид:

1. Найдем передаточную функцию замкнутой САУ:

2. ХY САУ – это знаменатель ее передаточной функции приравненный к 0 т.е.:

3. Годограф Михайлова (при s = jω):

А(jω) =D(jω) + К

0 < ω < ∞

4. Построим, вначале, D(jω):

D(jω) = (Т₁jω +1)(T₂jω +1)(T₃jω +1)=Re(ω) + jIm(ω)

Re(ω) = 1 – (T₁T₂ + T₁T₃ + T₂T₃)ω ²

Im(ω) = (T₁ + T₂ + T₃)ω –T₁T₂T₃ω ³

Кпр определим из уравнений

НЕДОСТАТОК критерия Михайлова

Годограф Михайлова не имеет физической сущности (его нельзя получить экспериментально). Между тем при исследовании сложных систем хотелось бы опираться на характеристики получаемые не только аналитически, но и экспериментально.

2. Критерий Найквиста (1932)

Основан на использовании wp(s), которую можно получить экспериментально.

Пусть: - ПФ разомкнутой САУ

Тогда: - ПФ замкнутой САУ

Образуем функцию:

- XY замкнутой САУ

- XY разомкнутой САУ

РАССМОТРИМ

1-й случай – разомкнутая САУ устойчива.

Тогда, согласно критерию Михайлова:

∆ arg N(jω) = n*

0 < ω < ∞

Чтобы система и в замкнутом состоянии была устойчива необходимо чтобы:

∆ arg

0 < ω < ∞

Это значит что: ∆ arg F(jω)= 0

0 < ω < ∞

Изобразим F(jω) на комплексной плоскости

Сдвинем теперь F(jω) влево на “1” и получим, таким образом, wp(jω)

Критерий устойчивости Найквиста:

Если разомкнутая САУ устойчива, то для ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ wp(jω) при 0< ω < ∞ не охватывала точку с координатами (-1; j0).

ПРИМЕР

Найти, используя критерий Найквиста, предельный коэффициент Кпр при котором САУ потеряет устойчивость если:

По критерию Найквиста САУ находится на границе устойчивости если:

Полагая Im(ω) = 0 найдем:

Подставив в Re(ω) найдем:

Т.е. результат такой же, как и при использовании критерия Михайлова.

Запасы устойчивости САУ – это количественные оценки степени устойчивости систем. Удобнее всего такие оценки (запасы) получить используя критерий Найквиста

Рассмотрим АФЧХ устойчивой САУ

Wp(jω) при 0< ω < ∞ не охватывает т.(-1, j0).

Следовательно САУ устойчива.

САУ может потерять устойчивость по двум причинам:

а) увеличения К без изменения фаз - все вектора wp(jω) увеличиваются и когда-нибудь САУ станет неустойчивой. Очевидно, что увеличивать К можно

в раз т.ч.

∆ А= - запас устойчивости САУ по амплитуде.

б) увеличения φ (ω) без изменения К – все вектора характеристики wp(jω) поворачиваются по часовой стрелке на некоторые углы ∆ φ. На рисунке видно на какой угол ∆ φ можно повернуть wp(jω) прежде чем САУ потеряет устойчивость.

Проводя окружность радиусом “1” можно найти ту точку ω, которая попадет в точку (-1; j0) если на частоте ω φ (ω) увеличится на угол ∆ φ.

Следовательно ∆ φ – запас устойчивости САУ на фазе.

Итак, существуют две количественные оценки степени устойчивости САУ

1) Запас “по амплитуде” - ∆ А=

2) Запас “по фазе” - ∆ φ

Недостаток частотных критериев устойчивости – сложно строить кривые А(jω) и wp(jω)

Анализ устойчивости САУ по логарифмическим характеристикам

АФЧХ можно построить в логарифмическом масштабе в виде двух характеристик:

L(ω) – логарифмической амплитудной частотной характеристики

φ (ω) – фазовой частотной характеристики.

Тогда анализ устойчивости заметно упрощается. Особенно просто строятся т.н. асимптотические L(ω) – в виде кусочно-прямолинейных характеристик.

РАССМОТРИМ
вначале два элемента таких кусочно-ломанных L(ω)

Пусть:

Тогда:

Пусть:

Тогда:

Приближенно:

при ω <

при ω >

Итак L(ω) состоит из двух прямых (асимптот):

1 – совпадающей с осью ω при ω <

2 – имеющей наклон –20 дб/дек при ω >

Частота ω = = ω с называется сопрягающей.

На сопрягающей частота ω с =

φ (ω) = - arctg1 = -45⁰

При ω → ∞ φ (ω) = -arctg∞ → -90⁰

ω → 0 φ (ω) = -arctg0 → 0⁰

Итак, чтобы построить L(ω) и φ (ω) для этого элемента – w(jω) =
нужно:

1. Найти сопрягающую частоту:

1. Вдоль оси ω построить участок 1 для

ω < ω _с

1. Построить участок 2 с наклоном -20дб/дек для

ω < ω _с

4. По формуле φ (ω)= -arctgω T

задаваясь разными частотами 0< ω < ∞ построить фазовую частотную характеристику L(ω)

Пусть теперь:

Тогда:

Приближенно: при ω <

при ω >

Т.О. и здесь L(ω) состоит из двух участков:

1 – вдоль оси ω до ω ≤ ω _с =

2 – с наклоном +20дб/дек при ω >

Построение асимптотических L(ω) и φ (ω) для сложных САУ.

Пусть например:

Заменив S→ jω получим амплитудно-фазовые частотные характеристики:

Представим последнюю характеристику в виде произведения характеристик элементарных звеньев:

Определим сопрягающие частоты:

Построим участок 1:

W(iω) = 100/jω

A(ω)= 100/ω

L(ω)= 20 lg 100 – 20 lg ω

При ω =1

L(ω)= 20 lg 100= 40^дб/_дск

Построив участок 1 до ω = ω _с1, строим участок II. Изменив наклон на -20дб/дск (т.к. скобка (jω +1) - в знаменателе!!!).

Участок II продляем до ω = ω _с2 с наклоном -40^дб/_дск.

На ω ≥ ω _с2 снова изменяем наклон, но уже на +20^дб/_дск, т.к. скобка (0, 1S+1) стоит в числителе Wp(S). Т.о. на участке III наклон снова становится -20^дб/_дск до частоты ω = ω _с3. На частоте ω _с3 наклон участка IV снова равен -40^дб/_дск, т.к.скобка (0, 01S+1) стоит в знаменателе Wp(S)

Фазовая характеристика φ (ω) САУ

складывается из фазовых характеристик отдельных звеньев Wp(S):

• φ (ω) = –90°− (arctg1ω)+(arctg0, 1ω) – (arctg0, 01ω)

Для ее построения удобно построить таблицу

Фазовая характеристика строится по точкам под амплитудной,

причем масштаб по оси “ω ” тот же.

• Об устойчивости САУ судят по расположению точек пересечения L(ω) оси частот ω _ср –частота среза и φ (ω) оси -180°.

Критерий устойчивости по ЛАЧХ

• Для устойчивости линейных САУ необходимо и достаточно, чтобы:

ω _ср < ω _{− π}

• Логарифмические характеристики позволяют определить запасы устойчивости:

∆ L (дб) – запасы по амплитуде

∆ φ (град) – запас по фазе

как это показано на рисунке.