Погрешности прямых измерений

При прямом измерении значение измеряемой величины может быть получено непосредственным считыванием со шкалы прибора (например, измерение линейных размеров тел штангенциркулем, микрометром, масштабной линейной; измерение времени секундомером и т. п.).

В качестве результата прямого измерения в серии из n повторных измерений некоторой физической величины принимается среднее арифметическое значение результатов повторных измерений:

. (5)

Пример. В лабораторной работе №1 пять раз измеряем высоту цилиндра (или сторону параллелепипеда) h: h₁ = 29, 85мм, h₂ = 29, 80 мм, h₃ = 29, 85 мм, h₄ = 29, 85 мм, h₅ = 29, 80 мм.

мм = 29, 85 мм.

Погрешностью прямого измерения будет максимальная из двух погрешностей: а) случайной погрешности разброса результатов повторных измерений; б) приборной погрешности прямых измерений.

Случайную погрешность, оценивающую разброс результатов измерений, определяют, используя метод коэффициентов Стьюдента [1]. Наиболее распространенный вариант расчета случайной погрешности по методу коэффициентов Стьюдента - это утроенное среднеквадратичное отклонение (или правило " 3s"). Оно определяется в п. 3.

Приборная погрешность прямых измерений может быть определена по классу точности прибора (2) или, в упрощенном варианте, как размер деления шкалы прибора (при крупных делениях допустимо в качестве приборной погрешности выбирать половину деления шкалы прибора, а в отдельных случаях - 1/3 деления шкалы прибора).

Пример. а) При измерении линейных размеров тел с помощью штангенциркуля в качестве приборной погрешности выбираем деление шкалы нониуса (0, 05 мм или 0, 1 мм, в зависимости от типа штангенциркуля).

б) При измерении времени механическим секундомером в качестве приборной погрешности выбираем деление шкалы секундомера (для механических секундомеров, используемых в лабораторном практикумe, деление шкалы секундомера составляет 0, 2 с).

3. Среднеквадратичное отклонение. Правило " 3s"

Для оценки погрешности среднего арифметического значения некоторой физической величины < а> рассчитаем отклонение отдельных значений этой величины (а_i) от среднего арифметического:

.

Среднеквадратичным отклонением отдельного измерения от среднего называется величина S_a, которая определяется по формуле:

. (6)

Она характеризует степень разброса отдельных измерений а_i относительно среднего < а >.

Среднеквадратичным отклонением среднего арифметического от истинного значения некоторой физической величины называется величина S_{< а >} , которая определяется следующим образом:

. (7)

В интервал [ < a> - S_{< a>} , < a> + S_{< a>} ] c определенной вероятностью попадает значение а_i - измеряемой физической величины. Чтобы увеличить вероятность попадания а_i в интервал возможных отклонений значений измеряемой величины от среднего значения, необходимо умножить среднеквадратичное отклонение на некоторый коэффициент t_an, т. е. увеличить интервал:

[ < a> - t_an× S_{< a>} , < a> + t_an× S_{< a>} ]. (8)

При этом вероятность a того, что данная физическая величина будет попадать в указанный интервал, называется доверительной вероятностью или коэффициентом надежности, а соответствующий интервал (8) будет называться доверительным интервалом. Коэффициент t_an, называется коэффициентом Стьюдента.

Достоверность полученных результатов измерений зависит от количества проведенных экспериментов. В статистике характеристики, полученные при проведении бесконечно большого числа испытаний, называют генеральными характеристиками. Эту неограниченно большую воображаемую совокупность результатов испытаний называют генеральной совокупностью. Ограниченную совокупность результатов испытаний, являющейся частью генеральной совокупности, называют выборкой, а значения характеристик, вычисленные по результатам испытаний выборки, называют выборочными характеристиками (статистиками) или оценками генеральных характеристик.

В большинстве случаев измеряемые случайные величины распределяются по нормальному закону- закону Гаусса. Это можно оценить, проведя бесконечно большое количество испытаний. На практике проведение такого количества экспериментов либо не возможно, либо экономически не выгодно. В этом случае проводят ограниченное количество испытаний – выборку, позволяющую с применением распределения Стьюдента (t -распределение) оценить выборочные характеристики испытаний. Распределение Стьюдента зависит от количества испытаний n (от 2 до 30) и от выбранного значения доверительной вероятности α. График плотности вероятности t -распределения симметричен относительно оси ординат и имеет, как и для нормального распределения, колоколообразный вид. При большом количестве испытаний (n ≥ 30) график этого распределения сходится к графику плотности вероятности нормального распределения. Значения t -критерия для различного числа испытаний n и доверительной вероятности α приведены в таблице 1.

Коэффициенты Стьюдента t_{α n}

Таблица 1

Доверительный интервал для измеряемой случайной величины в этом случае равен удвоенной абсолютной погрешности измерения, рассчитанной с учетом коэффициента Стьюдента:

[< a> - t_an× S_{< a>} , < a> + t_an× S_{< a>} ] = 2× Dа. (9)

Отсюда абсолютная погрешность измерения будет определяться так:

. (10)

На практике чаще всего пользуются значением коэффициента Стьюдента, равного трем: t_an = 3 (тогда a = 0, 997 при n®¥). Случайная погрешность измерения физической величины a будет равна:

. (11)

Если число измерений велико, то

, (12)

где S_а - среднеквадратичное отклонение отдельного измерения величины а от ее среднего значения в данной выборке; s_а - среднеквадратичная погрешность отдельного измерения в генеральной совокупности; n - число повторных измерений величины a. Величина S_a рассчитывается по формуле (6).

Среднеквадратичной ошибкой среднего значения называется величина s_{< a>} , которая определяется так:

. (13)

Для определения s_{< a>} необходимо провести бесконечно много измерений величины а. Так как это выполнить невозможно, то на практике при большом числе измерений имеем

S_{< a>} » s_{< a>} . (14)

Реально уже при n ³ 5 можно считать справедливым соотношение (14).

Случайная погрешность, рассчитанная по формуле (11), на­зывается предельной абсолютной погрешностью, а сам алгоритм рас­чета (11) - правилом " 3s".

Важность правила " 3s" для оценки абсолютной случайной погрешности измерения подтверждается еще и тем фактом, что основная масса выпускаемых промышленностью приборов рассчитывается на воспроизведение измерений с вероятностью 0, 997, что соответствует абсолютной погрешности 3s при числе измерений n ®¥.

Таблица 2

В табл. 2 приведены значения коэффициента Стьюдента t_an для n = 5 повторных измерений, проводимых в большинстве работ данного практикума.

Таким образом, погрешность прямого измерения может быть определена в следующем порядке:

а) оценка приборной погрешности по классу точности прибора (1) или как размер деления (размер половины деления);

б) оценка случайной погрешности по правилу " 3s";

в) сравнение приборной и случайной погрешностей: при заметном превосходстве одной из указанных в пунктах а) и б) погрешностей наибольшая становится погрешностью результата измерения; при приблизительном равенстве приборной и случайной погрешностей ошибкой измерения будет являться сумма приборной и случайной погрешностей.