Два основні завдання динаміки точки

Розглянемо вільну матеріальну точку. Нехай на неї діє сила ; останню можна розглядати як рівнодійну сил, діючих на неї з боку інших матеріальних об'єктів, тобто інших тіл або, скажімо, полів.

Для простоти вважатимемо, що на точку діють сили, викликані її взаимо-действием з іншими матеріальними точками.

Допущення: в завданнях динаміки однієї матеріальної точки предполагается, що діюча на неї сила визначається тільки положенням точ-ки, її швидкістю і, можливо, часом:

.

Це - зовсім не аксіома, не закон природи. Фактично тут передбачається, що дана матеріальна точка не чинить істотного впливу на рух точок, що взаємодіють з нею.

Наприклад, нехай космічний апарат летить від Землі до місяця.

На нього діють сили тяжіння з боку Землі і Місяці, що впливають на рух апарату.

За III законом Ньютона, такі ж сили з боку апарату діють на Землю і місяць. Але маса апарату нікчемно мала в порівнянні з масами цих небесних тіл і на їх рух практично не впливає.

Оскільки Земля і місяць рухаються один відносно одного, то сила F буде залежати не лише від положення самого апарату, але і від відносного положення Землі і місяця; цей вплив відбивається залежністю - від t.

Якщо ж вплив даної матеріальної точки на рух інших точок істотно, то записана нами формула вже не матиме місця. Тоді йтиметься не про завдання динаміки однієї точки, а про завдання динаміки системи матеріальних точок; такими завданнями ми займемося пізніше.

Підставимо записане вираження для F в II закон Ньютона:

Прискорення - це друга похыдна від радіус-вектора. Отримуємо:

Це - диференціальне рівняння руху вільної материаль-ной точки у векторній формі; записано в інерціальній CВ.

Можна записати це рівняння і в проекціях на осі декартової системи коорди-нат. Припускатимемо, що ця система координат незмінно пов'язана з тією инерциаль-ной системою відліку, в якій записано векторне рівняння.

Маємо:

Н’ютон такими рівняннями ще не користувався. Аргументи у функцій , , скорочено не виписані (це ми зробимо трохи пізніше, але і так по-

нятно, що це - координати точки, їх перші похідні за часом і час).

Отже, в нашому розпорядженні - три скалярні диференціальні рівняння вто-рого порядку. Переходимо до розгляду двох основних завдань динаміки матеріальної точки.

Перше задача: заданий закон руху . Знайти силу, що надає точці цей рух.

Якщо скористатися диференціальними рівняннями руху вільної матеріальної точки, то це завдання вирішується просто.

Подвійне диференціювання:

при цьому сила знаходиться у вигляді .

Часто цього буває досить, адже тепер ми можемо знайти силу у будь-який момент часу. Проте це рішення є неповним, оскільки в загальному випадку в динаміці вільної матеріальної точки сила розглядається як функція положення, швидкості і часу. Значить, в загальному вигляді отримати повне рішення першої задачі тільки двукрат-ным диференціюванням не можна. Якщо ж про силу відома яка-небудь додаткова інформація, то іноді повне рішення виявляється можливим.

Друге задача: задані сила , а також і . Знайти закон руху точки.