Метод решения задачи на условный экстремум Лагранжа

Этот метод широко применяется при уравновешивании ре­зультатов измерений в геодезии по способу наименьших квадра­тов; его удобно использовать и при решении многих землеустро­ительных задач на оптимум. Поясним сначала этот метод на рас­смотренном в предыдущем параграфе примере. Условие 2а + 2Ъ = Ь запишем в виде

2а + 2Ь-Ь = 0.

Умножим это уравнение на неизвестный множитель к, назы­ваемый множителем Лагранжа, или коррелатой, и полученное произведение вычтем из функции. Тогда получим

Р = аЪ - к(2а + 2Ь) + кЬ.

Поскольку данная функция содержит три неизвестных (а, Ь и к), задачу можно решить путем дифференцирования ее по каж­дой неизвестной. В данном случае надо найти три частных про­изводных и приравнять их к нулю:

—=Ь-2к=0; — =а-2к=0; —=-2а-2й+1=0.
да до ак

Г

до 1001 м, то его площадь увеличится на —=125 м.

о

Рассмотрим другой пример. Предположим, что в сельскохо­зяйственном предприятии имеется 40 тыс. руб, которые можно ■ ттратить на трансформацию кустарника в пашню и на получе­ние урожая зерновых на этих площадях. Денежные затраты на освоение 1 га земли под пашню оценивают в 5 тыс. руб, а на уве­личение урожайности на 1 ц с 1 га — в 1 тыс.

Обозначим через х_х площадь трансформируемых земель, а че­рез х₂ — искомую урожайность зерновых. Тогда уравнение для чатрат имеет вид

5x1 + х₂ = 40.

Допустим, что количество дополнительно произведенной продукции в стоимостном выражении связано с неизвестными XI и х₂ следующей функцией:

2= 5х] х₂ + 10 х₂—> тах.

Требуется определить такие значения X) и х₂, чтобы 7, было максимальным и выполнялось по денежным затратам.

Для решения задачи применим метод неопределенных мно­жителей (коррелат) Лагранжа. Согласно вышеприведенной мето­дике уравнение Лагранжа будет иметь вид

7= 5х) х₂ + Юх₂ - к(Ъх_х + х₂ - 40).

Взяв частные производные по каждой переменной и прирав­нивая их к нулю, получим

---- =5х₂-5Л: =0; ---- =5х₁ + 10-)Ы0; —-=-5х₁-х₂+40=0.

ах\ Ъх-1 дк

Разделим первое уравнение на 5 и вычтем его из второго. По­лучим

5х, - х₂ + 10 = 0; х₂ = 5^ + 10.

Подставив значение х₂ в третье уравнение, получим -5*1-5*, -10+ 40 = 0; 10*1 = 30,

откуда

Ху = 3; %2 = 25; к— 25.

Таким образом, чтобы получить максимальный выход продук­ции в стоимостном выражении (в размере 415 тыс. руб.), надо ос­воить под пашню 3 га кустарника и получить урожайность зерно­вых на этом массиве в 25 ц с 1 га. Экономический смысл корре-латы заключается в том, что при увеличении ассигнований на единицу (с 40 до 41 тыс. руб.) стоимость продукции увеличится на 25 тыс. руб.

Следует иметь в виду то, что последняя задача имеет достаточ­но условный характер, так как в хозяйствах обычно есть много участков для сельскохозяйственного освоения и мелиорации, для трансформации которых нужно использовать различные ресур­сы—денежные, материальные (удобрения, технику, семена, по­ливную воду). Поэтому в реальных расчетах количество уравне­ний будет гораздо большим, но все равно задачу можно будет ре­шить, применяя метод Лагранжа.

4.4. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

При вычислениях, связанных с землеустроительным проек­тированием, приходится встречаться с четырьмя видами вели­чин.

1. Полученные путем измерений или представляющие собой функцию непосредственных измерений. Такие величины заклю­чают в себе ошибки, зависящие от точности инструментов или приборов измерения, внешних условий, в которых измерения производятся, способов измерения и личных качеств инженера-землеустроителя. Истинные значения измеряемых величин оста­ются неизвестными. С помощью уравнительных вычислений по­лучаются (или могут получаться) их наиболее вероятные значе­ния, имеющие определенные средние квадратические или пре­дельные ошибки. Таким образом, эти значения являются приближенной оценкой измеренных величин.

2. Точные (или условно точные). К ним относятся различные постоянные (рациональные константы), а также наперед задава­емые значения какой-либо величины (например, отделяемая часть площади, расстояние между данной прямой и отыскивае­мой прямой, параллельной первой, число разверсточных единиц и т. п.).

3. Округленные величины. Прежде всего это иррациональ­ные константы (например, число я), при вычислениях округля­емые до определенного десятичного знака; ошибка округления

к данном случае может быть учтена с любой мерой точности. Кроме того, при вычислениях приходится сталкиваться и с другими типами округленных чисел. Таковы все данные, полу­чаемые из различных таблиц (приращений координат, нату­ральных значений тригонометрических величин и т. п.). В от­ношении этих последних истинная ошибка округления неиз­вестна; известна лишь предельная или средняя квадратическая ошибка.

4. Результаты непосредственных вычислений или постоянные величины, принимаемые в расчет при проектировании как ус­ловно точные, задаваемые с определенной степенью вероятнос­ти. К ним относятся показатели урожайности сельскохозяй­ственных культур и продуктивности животных на перспективу, данные по планируемой структуре посевных площадей, рацио­нам кормления скота и т.п. Данные величины также являются, но существу, приближенными.

Таким образом, при проведении различных расчетов в земле­устройстве, построении функциональных зависимостей и моде­лей постоянно приходится сталкиваться с приближенными зна­чениями тех или иных величин. Приближенными называют чис­ла, которые отличаются от точного значения на некую погреш­ность (ошибку), допустимую в соответствии с условиями данной задачи, и заменяют точные числа в расчетных формулах. При ра­боте с ними пользуются определенными правилами, так как ина­че эти погрешности могут существенно повлиять на результат и привести к неправильному решению.

Например, при выполнении арифметических операций необ­ходимо учитывать, что в сумме приближенных чисел верных де­сятичных знаков будет не больше, чем их имеется в слагаемом с наименьшим количеством десятичных знаков. В произведении и частном значащих цифр будет не больше, чем их имеется в ком­поненте с наименьшим количеством значащих цифр. Например, в произведении двух округленных чисел

р = X) х₂ = 424, 98 ■ 0, 52 = 220, 9896

будет только две значащие цифры, так как величина х₂ имеет две значащие цифры. Убедиться в этом можно, изменив наименее точный сомножитель (в нашем примере число 0, 52) на величину предельной погрешности округления и вновь вычислив искомое произведение:

р' = 424, 98 -0, 525 = 223, 1145.

Погрешность произведения (в данном случае Ар = р' — р = 2, 1) можно определить и без повторного вычисления по формуле для относительной погрешности произведения:

Д^_АХ]_ Ах₂_ 0, 5 0, 5_ 1 р ~^~⁺ х₂ ~ 42500⁺52~~ 104'

откуда находим

Л Р 221 0 1

Ар=-*—= =2, 1.

' 104 104

Окончательный ответ можно поэтому записать так: р = 221 ± 2, 1, оставляя в нем одну запасную (сомнительную) цифру. Реально от­вет задачи будет находиться в интервале 219< /> < 223.

Таким образом, при землеустроительных расчетах всегда воз­никает проблема оценки точности произведенных вычислений, то есть степени достоверности полученного результата, доверия к нему. Это трудная и малоразработанная проблема, особенно по отношению к экономико-математическим моделям, которые как по точности коэффициентов уравнений и неравенств, так и по своему составу лишь приближенно отражают действительные ус­ловия работы предприятий.

В землеустройстве этой проблемой занимались прежде всего специалисты по точности геодезических измерений и вычисли­тельной технике. Они первыми применили технику оценки точ­ности в геодезии к землеустроительным расчетам (А. В. Гордеев, Е. Г. Ларченко, Ю. В. Кемниц, М. И. Коробочкин, А. В. Маслов, А. К. Успенский, М. В. Андриишин, В. С. Бережное, И. Ф. Полу­нин и др.). Было установлено, что основными источниками оши­бок являются:

погрешности исходных данных (сведений, выбираемых из технологических карт, результатов измерений с планов и карт, различных нормативных коэффициентов, получаемых из спра­вочников, и т. п.). Это неустранимые погрешности, они не зави­сят от метода решения задачи;

погрешности округления, возникающие (нарастающие) в процес­се счета. Чтобы уменьшить их накопление, промежуточные результа­ты записывают с дополнительными (сомнительными) знаками;

погрешности, возникающие в результате неточности приме­няемых формул, методов и моделей.

При переводе чисел из одной системы счисления в другую также появляются дополнительные погрешности, которые отно­сятся к неустранимым. Они должны быть меньше, чем погреш­ности исходных данных.

При землеустроительных расчетах, ввиду того что действия осуществляются с приближенными числами, необходимо учиты­вать два основных момента:

точность, с которой можно получить значения искомых вели­чин:

точность, с которой необходимо знать эти значения.

В настоящее время разработаны правила вычислений с при­ближенными числами, применение которых существенно облег­чает решение землеустроительных задач. Например, пользуясь правилами значащих цифр, можно легко показать, что при вы­числении площадей землевладений по координатам вершин многоугольников отдельные произведения можно округлять до целых чисел.

Для того чтобы оценить точность искомых величин, необхо­димо хорошо разбираться в понятиях абсолютной и относитель­ной погрешности, их связи с количеством верных значащих цифр.

Абсолютная погрешность (Д.) — это абсолютная величина раз­ности между точным числом (х) и его приближенным значением (а). Она определяется по формуле

Д = \х— а\.

В связи с тем что истинное значение величины х в большин­стве случаев неизвестно, неизвестна и истинная абсолютная по­грешность Д. Поэтому обычно пользуются предельной погреш­ностью Д_пр, которую при округлении принимают равной по­ловине единицы последнего десятичного знака: Д_окр = = Д_пр = а = 0, 5 единицы последнего знака. Например, округлен­ные числа 41 и 2, 5 имеют значение а, равное соответственно 0, 5 и 0, 05.

Относительная погрешность (е) — это величина, характеризу­ющая отношение абсолютной погрешности (Д), к самому значе­нию числа (а):

В геодезии и землеустройстве относительную погрешность обычно выражают аликвотной дробью, то есть дробью, числитель которой равен единице:

е=——. а/А

Знаменатель а/А выражают приближенно целым числом; чем меньше е (или соответственно чем больше а/А), тем точнее ре­зультаты вычислений. Определение относительных погрешнос­тей расчетов или измерений в землеустройстве диктуется тем, что абсолютные погрешности не всегда дают представление об искомой точности. Например, если Д = 0, 1 га, то еще нельзя ска­зать, хорошо или плохо произведено вычисление площади, так

как если эта погрешность относится к площади 100 га, то е = 0, 1 %, а к площади 10 га — уже 1 %.

В ряде случаев, когда значение абсолютной погрешности не­известно (а следовательно, нельзя вычислить и относительную), ее задают исходя из опыта, экспертных оценок или аналогичных расчетов.

Величина относительной погрешности связана с количеством значащих цифр, заслуживающих доверия. Это, по определению Е. Г. Ларченко, все цифры приближенного числа, начиная слева от первой, отличной от нуля, и направо до цифры, имеющей по­грешность не больше единицы.

Пример вычисления погрешности при разном количестве зна­чащих цифр приведен в таблице 2. Из нее видно, что чем меньше значащих цифр, тем больше относительная погрешность.

2. Погрешность записи приближенных чисел в зависимости от числа значащих цифр

Значение

приближенного

числа

Количество значащих цифр

абсолютной

Значение погрешности

относительной

в долях единицы

Числа всегда следует записывать, исходя из правил определе­ния значащих цифр. Например, площадь земельного участка, вычисленная с точностью до 0, 1га, должна записываться не 100, 12 а 100, 1 га. Если же угол в 60° измерен с точностью до ми­нуты, то он должен быть записан в виде 60°00'.

При оценке точности результатов вычислений с приближен­ными числами, а также при определении точности любых функ­ций используют методы дифференциального исчисления.

Для функции общего вида у=Дх) имеем соотношение Ау=Дх)Ах.

Разделив на у, получаем относительную погрешность функ­ции:

у Ах)

Данную формулу можно получить также, дифференцируя на­туральный логарифм исходной функции.

Рассмотрим конкретный пример. Среднее расстояние от хо­зяйственного центра до севооборота (Л) в зависимости от его площади (Р) часто определяют по формуле

к=кЛ>,

где К— коэффициент, учитывающий положение хозяйственного центра на терри­тории (в центре, в углу, на середине диагонали и т. д.), а также искривление дорог и т. п. Примем это значение в нашем примере равным 3, 183 и будем считать этот ко­эффициент точной величиной.

Тогда

АК=/'(Р)АР, или ДД=-^=ЛР.

Пусть Р= 25, 0 + 0, 05 км², тогда

ДЛ=^р^-0, 05=0, 0159; Л=3, 183725=15, 9км.

Относительная погрешность будет равна

0, 0159 1

15, 9 1000'

Эту погрешность можно определить также путем дифферен­цирования выражения

ЫК = \пК+-\пР.

2

Имеем

АЯ _ 1 АР 0, 05 1 ^0+— -

Я 2 Р 50 1000 Если функция зависит от нескольких независимых аргументов

у=Лх\, х₂,. -, х„), то абсолютную погрешность можно выразить формулой:

ау=фс_их₂,..., х_п), или

^п ЪТ

/ = 1 ОХ I

Предельная абсолютная погрешность функции будет равна:

(Лу)пр^Х / = 1

где Ах/ — предельные погрешности аргументов.

Вычисленная по данной формуле погрешность при значитель­ном числе аргументов будет сильно завышена, поэтому при п > 3 за предельную погрешность функции общего вида Е. Г. Ларченко рекомендовал взять утроенную среднюю квадратическую по­грешность (ошибку), которую вычисляют по формуле

(Ду)„_р=3/я_у=з/1(|^/и_Х|.)².

На основе данных рекомендаций в МИИЗ Е. Г. Ларченко, М.И. Коробочкиным, В. С. Бережновым и другими учеными были даны предложения по проведению арифметических операций с приближенными числами (Задания и методические указания по применению вычислительной техники для решения инженерно-экономических задач. — М.: Недра, 1967. — С 7 — 8; Ларченко Е. Г. Вычислительная техника и экономико-математические методы в землеустройстве. — М.: Недра, 1973. — С.29 — 34).

Суть их сводится к следующему.

При сложении и вычитании приближенных чисел:

выбирают компонент (слагаемое, вычитаемое или уменьшае­мое) с наименьшим количеством десятичных знаков;

остальные компоненты округляют, оставив в них на один-два знака больше, чем их имеется в компоненте с наименьшим коли­чеством десятичных знаков;

выполняют арифметические операции (сложение или вычита­ние);

полученный результат округляют, оставив в нем столько деся­тичных знаков, сколько имеется в компоненте с наименьшим их количеством.

При умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня:

выбирают компонент с наименьшим количеством значащих цифр;

все остальные округляют, оставив в них на одну-две значащие цифры больше, чем их имеется в компоненте с наименьшим ко­личеством значащих цифр;

производят соответствующие операции;

полученный результат округляют до стольких значащих цифр, сколько их имеется в наименее точном компоненте.

Рассмотрим, чем объясняются данные правила, на примере оценки точности суммы приближенных чисел:

5= Х[ + х₂ +... + х_п,

с погрешностями Дх_ь Дх₂,..., Дх„.

Взяв полный дифференциал суммы ^ и приняв, что диффе­ренциалы слагаемых равны погрешностям, получим

я А5'=АХ] +АХ2 +...+ Дх„ = Х^/-

/=1

Относительная погрешность суммы составит

П

Д»У 1 = 1

/ = 1

Так как истинные значения погрешностей обычно неизвест­ны, приходится иметь дело с предельными погрешностями Ь.8^.

1 = 1.

Очевидно, предельная погрешность суммы не может быть меньше предельной абсолютной погрешности числа, имеющего наименьшее, количество десятичных знаков. Поэтому в сумме нет смысла сохранять больше десятичных знаков, чем их имеется в слагаемом с наименьшим их количеством.

Для приближенной оценки точности суммы может быть ис­пользована следующая формула:

Дб'_Пр=ал/3«,

где п — количество слагаемых; а — предельная погрешность округления, равная для всех слагаемых.

Например, если при составлении проектной экспликации зе­мель сельскохозяйственного предприятия, землепользование ко­торого состоит из 133 отдельных участков, площадь которых опре­делена с округлением до 0, 1 га (а = 0, 05), то предельная погреш­ность Д/^р вычисления площади всего хозяйства будет равна:

Д/> =0, 05-73133=1га.

Если же площади этих участков вычислены с округлением до 1 га (а = 0, 5), то

ЛР_пр =0, 5-^3.133 =10га.

Таким образом, чем с меньшей точностью вычислены значе­ния площадей отдельных участков, тем ниже точность вычисле­ния и общей площади землепользования хозяйства.

Во многих случаях перед землеустроителями стоит обратная задача: как по заданной погрешности функции определить абсо­лютные и относительные погрешности аргументов? Примени­тельно к приведенному выше примеру это означает: с какой точ­ностью должны быть вычислены значения площадей отдельных участков, если общую площадь землепользования требуется знать, например, с округлением до 0, 1 га?

Исходя из вышеприведенной формулы, можно записать:

а=-

Если п = 133, А₁5^, _пр = 0, 05, то

а= °'⁰⁵ =0, 0025.

73-133

Однако в действительности данная задача (так называемая об­ратная задача теории погрешностей) гораздо сложнее. Поскольку здесь имеются всего одно уравнение и несколько неизвестных погрешностей аргументов, она может быть решена только при некоторых дополнительных допущениях или условиях. В земле­устроительных задачах за такое условие часто принимают «прин­цип равных влияний», то есть считают, что все частные прира­щения -—Ах, - одинаково влияют на предельную абсолютную

или относительную погрешность функции.

Например, требуется определить, с какой точностью надо из­мерить длину и ширину приусадебного участка для ведения лич­ного подсобного хозяйства, имеющего форму прямоугольника, чтобы в свидетельство на право собственности на землю была за­писана площадь, имеющая абсолютную погрешность не более 0, 01га. Примерная длина участка равняется 100 м (я =100), а ширина — 50 м (Ь — 50).

Напишем функцию определения площади:

Р=аЬ.

Возьмем ее натуральный логарифм

\пР=\па + \пЬ.

Дифференцируя эту функцию по а и Ъ, имеем

АР__Аа^ АЬ_ Р ~~а ⁺ Ь '

Согласно принципу равных влияний принимаем, что

Тогда, учитывая, что АР = 0, 01, можно записать:

Да_Д? АЬ_АР а~ Р' Ь~ Р'

Отсюда

_ОА ДР _д АР а 0, 01 0, 01. _А, 0, 01 50_ЛС

2Аа=—-а; Аа= ----- ^=-ЧгЧг-=1^м; & Ъ=-? — —0, 5м.

Р Р 2 0, 50 2 0, 50 2

Таким образом, чтобы знать площадь приусадебного участка с точностью до 0, 01 га, его длину и ширину достаточно измерить с точностью соответственно 1, 0 и 0, 5 м. Такое измерение индиви­дуальных участков можно произвести по крупномасштабным фо­топланам.

Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение аналитической модели.

2. Чем отличаются аналитические модели от других математических моделей, применяемых в землеустройстве?

3. Приведите примеры аналитических моделей в землеустройстве.

4. Перечислите основные свойства аналитических моделей.

5. Что является признаком наличия у аналитической модели (функции) экстре­мума?

6. В чем сущность метода Лагранжа?

7. С какими видами величин приходится иметь дело в расчетах с использовани­ем аналитических моделей?

8. Что такое приближенное число?

9. Дайте определение абсолютной и относительной погрешности.

10. Как определить количество значащих цифр в приближенном числе? Что они из себя представляют?

11. Назовите правила выполнения арифметических операций с приближенны­ми числами.

12. Как определить точность функции по заданным погрешностям аргументов? Как установить абсолютные и относительные погрешности аргументов по заданной погрешности функции?

Глава 5

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ

АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

5.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ РАССТОЯНИЙ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИ ОБОСНОВАНИИ ПРОЕКТОВ ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВА

Чтобы вывести формулу для среднего расстояния перевозок, разделим землевладение сельскохозяйственного предприятия на элементарные участки площадью р_ь р₂,..., р„. Обозначим объемы (плотность) перевозимых грузов через 5_Ь 8₂,..., 8„, а расстояния от хозцентра до каждого участка — г_и г_ъ..., г„.

Тогда среднее расстояние (3) от хозяйственного центра до землевладения будет равно:

₈₌ Р1Ъ_хг_{+Р2Ъ₂г₂+..лр_пЪ_пг_п р₁8₁+р₂5₂+...+р_пЪ_п

Если допустить, что объем (плотность) перевозимых грузов является постоянной, то есть 5[ = 8₂ =... = 5„, это выражение уп­рощается:

⁵~Ъ^—г~' ^(5Л)

где Р — площадь землевладения хозяйства.

Эта формула при указанных допущениях в землеустроитель­ной науке стала классической для определения математического среднего расстояния от хозяйственного центра, имеющего раз­ное местоположение на территории, до землевладения, имеюще­го произвольную геометрическую форму и площадь.

Впервые наиболее полно формулы для расчета среднего рас­стояния были обоснованы К. Н. Сазоновым (Сазонов К. Н. Среднее расстояние земельной площади до хозяйственного цен­тра. — Воронеж, 1925. — С. 5 — 9). Математически они выводятся следующим образом. Площадь фигуры, отнесенной к определен­ной системе координат, разделяется тем или иным способом (па­раллельными прямыми, концентрическими дугами или радиуса­ми) на элементарные участки, затем берется любой из этих учас­тков и определяется его площадь как некоторая функция малых приращений координат; расстояние этой площади по прямой линии до хозяйственного центра, в свою очередь, определяется как функция координат хозяйственного центра и координат эле­ментарного участка.

Произведение площади участка на расстояние выражает объем транспортных работ (при плотности 8 = 1); чтобы опреде­лить общий объем, то есть вычислить числитель формулы (1), необходимо найти сумму таких произведений для всей площади участка, исходя из предположения, что число частиц неограни­ченно увеличивается, а площади их неограниченно убывают и сгановятся бесконечно малыми величинами. Такая задача, как известно, сводится к двойному интегрированию в определенных пределах выражения, представляющего произведение элементар­ной площади на расстояние ее до хозяйственного центра; необ­ходимые при этом пределы интегрирования по обеим перемен­ным определяются в зависимости от фигуры участка. Разделив результат интегрирования на общую площадь участка, получаем формулу математического среднего расстояния для данной фигу­ры и заданного внутри или вне ее положения хозяйственного 11ентра.

Рассмотрим вывод формулы математического среднего рас­стояния для кругового кольца с местонахождением хозяйствен­ного центра в общем центре кругов в точке А (рис. 3).

Пусть радиус внешней окружности будет АС = Я, а радиус внутренней окружности АБ = а. Тогда площадь кольца Р = пК² — -тга⁵ = я(Л²-а²).

Расположим фигуру в полярной системе координат с полюсом в точке А и осью АМ; разделим площадь кольца концентрически­ми кругами, проведенными из точки А, как из центра, и радиуса­ми на бесконечно большое число частиц вида Ьсйе; тогда пло­щадь любого из таких криволинейных прямоугольных четырех­угольников будет равна произведению длин его сторон.

Обозначая полярный угол МАС=у, его приращение ВАС=Аср, радиус Ае = г и его приращение ес = Дг, можем (при­ближенно, пренебрегая бесконечно малыми второго порядка) написать, что

р = гАфДг.

Бесконечно малая площадь Ьсйе отстоит от хозяйственного центра А на расстоянии Ае = г, вследствие чего для этой площа­ди работа по перевозке (IV) будет равна:

IV= гр — ЯДфДг.

Рис. 3. Схема вывода формулы среднего

расстояния для землевладения, имеющего

форму кольца

Чтобы определить общий объем работ, надо суммировать сна­чала все Ж по радиусу для значений г, меняющихся в пределах от г= а до /■ = Я (полагая ф постоянным), а затем вычислить сумму полученных сумм, полагая ср меняющимся в пределах от < р = 0 до Ф = 2 тс, то есть

2я Я

Х^= | (1ц\г^гйг.

О а

" Производя интегрирование, получаем

2л оЗ 3 т

О 3 5

Применяя формулу (5.1) и пользуясь выражением для площа­ди кольца, окончательно получаем

„ Е^ 2 К³-а³

⁸⁼т⁼ъж^- < ⁵-²⁾

Если площадь, на которую распространяется работа по пере­возкам, будет представлять весь круг с радиусом Я, а не только кольцо между окружностями с радиусами а и Я, то достаточно положить в формуле (5.2) а = О, после чего получаем

5=\к, (5.3)

где 5 — математическое среднее расстояние, Я — радиус круга.

Определим, чему равно математическое среднее расстояние 5, если площадь землевладения будет представлять собой круг с ра­диусом Я, а хозяйственный центр (усадьба) будет расположен в его центре. В этом случае

Р=%Я², Я=_Л-.

V тс

Подставив значение Я в формулу (5.3), получим

! десь К_{ — коэффициент, учитывающий форму землевладения и местонахождение на нем хозяйственного центра. Для круга с усадьбой в центре

К\ =

2 _ 0, 667

=0, 376.

Математическое среднее расстояние при площади землевла­дения, например 100 га (1 хм²), для этих условий будет равно

0, 37б7Т=0, 38км. Если площадь землевладения увеличится до ЛИ) га (Р=2км²), то

5=0, 376л/2=0, 53км.

Используя данные закономерности, К. Н. Сазонов впервые в землеустроительной науке построил таблицу для определения шачений коэффициента К_х (табл.3).

3. Коэффициенты формул, связывающих математическое среднее расстояние и площадь землевладения

№ п/п

Вид фигуры*

Положение хозяйствен­ного центра

Отношение

периметра

фигуры к

корню

квадратному

от площади

Гр

Коэффициенты связи

среднего расстояния и площади

К, =5

1 Крут

2 Крут

3 Круг

4 Правильный шестиугольник

5 Правильный шестиугольник

6 Правильный шестиугольник

7 Квадрат

8 Квадрат

9 Квадрат

10 Прямоугольник п^:

11 Прямоугольник п

Центр круга

На середине

радиуса

На окружности

Центр тяжести На середине радиуса Вершина

Центр тяжести На середине полудиагонали Вершина

=2 Центр тяжести

=2 Вершина

Продолжение

* В описании фигур л — отношение большей стороны прямоугольника к мень­шей (для треугольников — соотношение катетов).

Для перехода от математических средних расстояний (по пря­мой) к реальным расстояниям (с учетом кривизны дорог) земле­устроители стали применять следующую формулу:

5_р=К_г5, или $_р=К_хК₂Л,

где К₂ — коэффициент, учитывающий реальное размещение и кривизну дорог.

Значение К₂ определяется путем деления реального среднего расстояния, измеренного по дорогам, на математическое среднее расстояние, то есть

Для практических целей В. Я. Заплетин рекомендовал исполь­зовать в условиях Центрально-Черноземной зоны значение #2=1, 3 — 1, 5; при этом он считал, что повышение дорожного коэффициента до 1, 5 характерно для предприятий, имеющих из­резанное оврагами и балками землепользование (Заплетин В. Я. Организация территории колхоза. 2-е изд. — Воронеж, 1973.— С. 31; Заплетин В. Я. Вопросы совершенствования землепользо­вания колхозов. — М.: Экономика, 1975. — С. 8 — 11).

Самый простой способ определения оптимальных площадей землевладений (землепользовании) сельскохозяйственных пред­приятий с использованием вышеприведенных формул по расчету средних расстояний, учитывающих форму (конфигурацию) зак­репленных площадей, местоположение хозяйственного центра и дорожные, условия, заключается в следующем.

По мере укрупнения площади хозяйства одна часть расходов (амортизация построек и сооружений, общехозяйственные рас­ходы) в расчете на единицу площади уменьшается, тогда как дру­гая (затраты на перевозки, выполнение механизированных ра­бот), напротив, увеличивается.

Очевидно, должна существовать некая оптимальная площадь землевладения, при которой удельные производственные затра­ты (на 1 га) будут минимальными. Типичный пример (данные В. Я. Заплетина) приведен в таблице 4.