![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Дробный факторный эксперимент
С увеличением числа факторов количество опытов при ПФЭ растет по показательной функции. В то же время часто заранее известно, что число определяемых коэффициентов в модели объекта намного меньше числа опытов в соответствующем ПФЭ (например, если можно ограничиться линейным приближением модели). В этом случае используя дробный факторный эксперимент (ДФЭ) и получая дробные реплики можно резко сократить число опытов. ДФЭ позволяет минимизировать число опытов, но при этом оценки коэффициентов получаются смешанными. Эффективность ДФЭ при определении модели объекта зависит от выбранной системы смешивания. Необходимо выбрать такие дробные реплики, при которых интересующие экспериментатора линейные эффекты смешиваются с теми эффектами взаимодействия, о которых с наибольшей вероятностью можно предположить, что они близки к нулю. Как правило, такое предположение чаще всего справедливо относительно взаимодействий самого высокого порядка. Для определения системы смешивания оценок используется так называемый определяющий контраст — символическое произведение всех столбцов матрицы планирования равное +1 или -1. Чтобы узнать какие взаимодействия смешаны с данным линейным эффектом (то есть в каких столбцах плана имеются одинаковые элементы) необходимо умножить определяющий контраст на столбец соответствующий данному эффекту. Положим, что контраст в случае трех факторов равен
Умножим по очереди определяющий контраст на
поскольку Полученным соотношениям (6.50) соответствует система смешанных оценок:
При увеличении числа факторов целесообразность использования дробных реплик для получения линейной модели объекта резко возрастает. Рассмотрим пример ДФЭ. Положим, что интересующая нас модель объекта является функцией трех переменных (факторов), причем заранее известно, что в рабочей области эта модель близка к линейной, то есть
При ПФЭ и двух уровнях факторов мы должны осуществить Используя ДФЭ для решения поставленной задачи можно уменьшить число опытов. Чтобы дробная реплика представляла собой ортогональный план, в качестве реплики следует брать ПФЭ для меньшего числа факторов. Число опытов при этом должно быть больше (или равно) числа неизвестных коэффициентов модели. Следовательно, для рассматриваемого примера можно ограничиться четырьмя опытами. При этом ортогональность плана достигается если использовать план ПФЭ типа Таблица 3.6 Полуреплика от ПФЭ типа 23
Такой сокращенный план (половина ПФЭ) называется полурепликой. Пользуясь таким планированием, можно оценить свободный член и три коэффициента модели при линейных членах. Но если модель объекта не строго линейна и коэффициенты при парных взаимодействиях не равны нулю, то найденные коэффициенты будут смешанными в соответствии с системой (3.50), поскольку элементы столбцов По указанному в табл. 3.6 плану проводится половина ПФЭ типа Пусть Число опытов в дробной реплике должно удовлетворять неравенству Если Поскольку число опытов в насыщенных планах равно числу определяемых коэффициентов, число степеней свободы дисперсии адекватности Таким образом оптимальные двухуровневые планы планы ортогональны, и поэтому все вычисления просты, все коэффициенты определяются независимо друг от друга; каждый коэффициент определяется по результатам всех для данного числа опытов линейные планы Покажем справедливость свойства ротатабельности в случае линейной модели
Вследствие отсутствия корреляции между коэффициентами по закону сложения дисперсий для линейной модели (6.53) имеем:
Так как
где Рис. 3.3. Дисперсия выхода Планирование обладающее таким свойством называется ротатабельным планированием.
|