Системний підхід та моделювання економічних процесів

Кількісні методи – наукова дисципліна, яка займається розробкою та практичним використанням математичного апарату найбільш вигідного керування різними організаційними системами.

Керування довільною системою реалізується як процес, який підпорядковується певним закономірностям. Знання цих закономірностей допомагає визначити умови необхідності та достатності успішного відбуття даного процесу. Для цього всі параметри, що характеризують процес і зовнішні умови, повинні бути кількісно визначеними. Отже, кількісні методи – кількісне обгрунтування прийняття рішень відносно організаційного керування.

Сучасна економічна наука, як на мікро-, так і на макрорівнях у своїх прикладних дослідженнях широко використовує наявний інструментарій математичних методів для формалізованого опису існуючих стійких кількісних характеристик та закономірностей розвитку соціально-економічних систем.

Під соціально-економічною системою будемо розуміти складну ймовірнісну динамічну систему, яка включає в себе процеси виробництва, обміну, розподілу та споживання матеріальних та інших благ. Вона відноситься до класу кібернетичних, тобто керованих систем.

Складність і велика розмірність систем, зокрема, соціально-економічних, може дуже ускладнити процес відображення мети та обмежень в аналітичному вигляді. Тому виникає необхідність у проведенні процедури зменшення реальної розмірності задачі до таких меж, які б із достатнім степенем точності адекватно відобразили реальну дійсність. Не дивлячись на велике число змінних і обмежень, які на перший погляд слід враховувати при аналізі реальних ситуацій, лише невелика їх частина виявляється суттєвою для опису поведінки досліджуваних систем. Тому при виконанні процедури спрощення опису реальних систем, на основі якої буде побудована та чи інша модель, насамперед необхідно ідентифікувати домінуючі змінні, параметри та обмеження.

Схематичне зображення рівнів абстракції, які відповідають процедурі процесу переходу від системи-оригіналу до її моделі, представлене на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Абстрактне зображення рівнів системи

Прообраз реальної системи відрізняється від системи-оригіналу тим, що в ньому знаходять відображення тільки домінуючі чинники (змінні, параметри й обмеження), які визначають генеральну стратегію поведінки реальної системи.

Модель, будучи прообразом реальної системи в подальшому, представляє собою найбільш суттєві для опису системи співвідношення у вигляді цільової функції та сукупності обмежень.

Єдиного визначення категорії системи не існує. У своїх дослідженнях ми будемо користуватися наступним: системою називається сукупність взаємозв’язаних структурних елементів, які сумісно реалізують певні визначені цілі. Множину елементів, що досліджується, можна розглядати як систему, якщо виконуються наступні чотири ознаки:

· цілісність системи, тобто незвідність властивостей системи до суми властивостей складових її елементів;

· наявність мети та критерію дослідження даної множини елементів;

· наявність більш структурно-логічної, зовнішньої по відношенню до даної, системи, так званої “середовищем”;

· можливість виділення в даній системі взаємозв’язаних частин (підсистем).

З поняттям системи тісно взаємопов’язані категорії надсистеми і підсистеми. Надсистема – оточуюче систему середовище, в якому функціонує система. Підсистема – підмножина елементів, які реалізують цілі, погоджені з цілями системи.

Існує декілька підходів математичного опису складної системи. Найбільш загальним і доступним є теоретико-множинний підхід, при якому система S представляється відношенням , де Х i Y – відповідно, вхідні та вихідні об’єкти системи. Тобто, припускається, що задано сім’ї множин V_i, де - множина індексів, а система задається на V_i як деяка власна підмножина декартового добутку, всі компоненти котрого є об’єктами системи.

Прийнято вважати, що системний аналіз – це методологія вирішення певних проблем, яка грунтується на структуризації системи та кількісному порівнянні альтернатив. Отже, системним аналізом буде логічно об’єднана сукупність теоретичних, емпіричних положень із предметних областей природничих та економічних наук і практики розробки складних систем, які забезпечують наукову обгрунтованість вирішення конкретної проблеми.

У системному аналізі використовується як математичний апарат загальної теорії систем, так і інші якісні та кількісні методи прикладної математики й інформатики. До складу задач системного аналізу входять задачі декомпозиції, аналізу та синтезу.

Задача декомпозиції означає представлення системи у вигляді підсистем, які складаються з менших елементів.

Задача аналізу полягає в знаходженні різного роду властивостей системи і середовища, що оточують цю систему. Метод аналізу - визначення закону перетворення інформації і опис поведінки системи. Тут може йти мова і про композицію (агрегацію) системи в єдиний елемент.

Задача синтезу системи протилежна до задачі аналізу. До заданого закону необхідно побудувати систему, що в дійсності виконує перетворення на основі певного алгоритму.

Основними методами дослідження системи являється метод моделювання, тобто інструмент системного аналізу та практичних дій, спрямований на розробку, вивчення та використання моделей.

Моделювання – процес побудови моделі, за допомогою якого вивчається функціонування об’єктів різної природи. Він складається з трьох основних елементів: суб’єкта, об’єкта дослідження та моделі, зa допомогою якої суб’єкт пізнає об’єкт.

Mодель – це такий матеріально або розумово зображуваний об’єкт, який у процесі дослідження зaміняє об’єкт-оригінал таким чином, що його безпосереднє вивчення дає нові знання про цей об’єкт. Іншими словами, модель – умовне зображення об’єкта, що з певною мірою адекватності описує його функціональні характеристики, які істотно важливі для поставленої мети дослідження.

В означенні моделі можна визначити декілька наступних важливих моментів:

a модель може бути матеріальним об’єктом або абстрактним представленням, і як наслідок, конкретне втілення моделі не буде суттєвим для мети моделювання;

a основна властивість моделі – здатність представити об’єкт при дослідженні його властивостей;

a моделлю може бути тільки така структура, що дозволить отримати на її основі повнішу інформацію, в порівнянні з безпосереднім дослідженням об’єкта.

Загальне схематичне зображення основних етапів цього процесу моделювання показано на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Основні етапи моделювання.

Розрізняють фізичне та математичне моделювання. Математичне моделювання – універсальний та ефективний інструмент пізнання внутрішніх закономірностей, властивих явищам і процесам. Воно дає можливість вивчити кількісні взаємозв’язки, взаємозалежності моделюючої системи та вдосконалити її подальший розвиток і функціонування з допомогою математичної моделі.

Під математичною моделлю розуміємо формалізований, тобто представлений математичними співвідношеннями, набір правил, які описують фактори суттєвого впливу на функціонування об’єкта дослідження.

Отже, математична модель являє собою систему математичних формул, нерівностей або рівнянь, які більш-менш адекватно описують явища та процеси, що властиві оригіналу.

Процес побудови та використання математичної моделі для її розв’язання з допомогою прикладних задач називається математичним моделюванням.

Опис математичної моделі виконується термінами кількісних характеристик-показників (змінних, невідомих), значення яких підлягає визначенню в процесі розв’язку задачі та параметрів, величини котрих апріорно відомі.

Вигода математичного моделювання очевидна: вона полягає у можливості отримати інформацію про об’єкт вивчення без проведення дійсних експериментів. А це в свою чергу виправдовує витрати на розробку та придбання інструментарію кількісних методів.

Моделювання доцільно застосовувати в наступних випадках:

a об’єкт недоступний для безпосереднього дослідження;

a об’єкт настільки складний, що дослідження його втрачає сенс через складність самого дослідження, або ж через наявність великої кількості побічних для даного дослідження факторів;

a дослідження на реальному об’єкті неможливі з інших міркувань (моральних, фінансових або конкурентних).

Моделюючи кокретну ситуацію, аналітик має вияснити наскільки чітко й точно модель відображає реальну дійсність і надійність отриманих кількісних оцінок.

Серед існуючих систем економічна є найбільш складною. Процес дослідження економічної системи безпосередньо пов’язаний з поняттям економіко-математичної моделі, яка представляє собою концентрований вираз існуючих взаємозв’язків і закономірностей процесу функціонування економічної системи в математичній формі. Даний вираз складається із сукупності пов’язаних між собою математичних залежностей у вигляді формул, рівнянь, нерівностей, логічних умов та факторних величин, всі або частина яких має економічний зміст. За своїм призначенням в економіко-математичних моделях ці фактори доцільно поділити на параметри та характеристики. При цьому параметрами об’єкта називають фактори, які характеризують властивості об’єкта або складових його елементів. У процесі дослідження об’єкта ряд параметрів може змінюватися, тому їх називають змінними, які в свою чергу поділяються на змінні стану та змінні керування. Як правило, змінні стану об’єкта являються функцією змінних керування та дій зовнішнього середовища. Характеристиками (вихідними характеристиками) називаються безпосередні кінцеві результати функціонування об’єкта (зрозуміло, що вхідні характеристики являються змінними станів). Відповідно характеристики зовнішнього середовища описують його властивості, які впливають на процес та результат функціонування об’єкта. Значення ряду факторів, які визначають початковий стан об’єкта або зовнішнього середовища, називаються початковими умовами.

При побудові моделей економічних систем слід відображати тільки найважливіші та найхарактерніші властивості процесів або явищ, що вивчаються. Внаслідок цього всі моделі є спрощеним відображенням реальної системи, але якщо цей процес виконано коректно, то отримане наближене відображення реальної ситуації дає можливість мати достатньо точні характеристики об’єкта дослідження.

Для того щоб моделювання стало дієвим інструментом пізнання, необхідно правильно побудувати математичну модель, адекватну процесу, що вивчається.

Найчастіше кількісні методи використовують для вирішення класичних задач оптимізації, імітації чи прогнозування. При цьому основні труднощі, подолати які необхідно, полягають у забезпеченні адекватності цієї моделі до об’єкта дослідження.

Адекватність побудованих математичних моделей слід оцінювати з урахуванням наступних чинників (рис. 1.4):

a відповідність структури та властивостей об’єкта керування (процесу управління);

a відповідність властивостей і можливостей методів формування інформаційної бази моделей, виконання їх на основі процедури імітації;

a відповідність до вимог розв’язання управлінських задач.

Рис. 1.4. Формування вимог адекватності моделей

Економіко-математичні моделі самі по собі не створюють нових і не змінюють існуючих принципів та методологічних основ економічної теорії, а тільки, спираючись на них, змінюють способи їх використання для всебічного кількісного та якісного аналізу закономірностей і взаємозв’язків економічних процесів.

При побудові економіко-математичної моделі слід уміло володіти наступними поняттями: критерій оптимальності, цільова функція, система обмежень, рівняння зв’язку, розв’язок моделі.

Критерієм оптимальності називається деякий показник, який має економічний зміст та служить способом формалізації конкретної мети керування і виражається зa допомогою цільової функції через фактори моделі. Критерій оптимальності визначає розуміння змісту цільової функції. У деяких випадках в якості критерію оптимальності може виступати одна із вихідних характеристик об’єкта моделювання.

Цільова функція математично зв’язує між собою фактори моделі, і її значення визначається значеннями цих величин. Змістовне тлумачення цільовій функції надає тільки критерій оптимальності.

Не слід змішувати критерій оптимальності та цільову функцію. Так, наприклад, критерій прибутку та критерій загальної вартості випущених інвестиційною компанією акцій можуть описуватися однією і тією ж цільовою функцією:

, (1.1)

де - індекс виду акцій ; - обсяг випуску акцій -го виду; - прибуток від випуску одиниці акцій -го виду або вартість одиниці акцій -го виду в залежності від змісту критерію оптимальності.

Критерій прибутку може бути розрахований за допомогою нелінійної цільової функції:

, (1.2)

якщо прибуток від випуску одиниці акцій -го виду є функцією від обсягу випуску .

При наявності декількох критеріїв оптимальності кожний з них буде формалізований своєю частковою цільовою функцією , де - індекс критерію оптимальності, . Для компромісного вибору оптимального розв’язку можна сформулювати нову цільову функцію:

. (1.3)

Проте дана цільова функція може вже не мати економічного змісту, в такому випадку критерій оптимальності для неї відсутній.

Система обмежень визначає границі існування області дійсних та допустимих розв’язків і характеризує основні зовнішні та внутрішні властивості об’єкта. Обмеження визначають область відбуття процесу, границі зміни параметрів та характеристик об’єкта.

Рівняння зв’язку являються математичною формалізацією системи обмежень. Між поняттями “система обмежень” та “рівняння зв’язку” існує точно така сама аналогія, як між поняттями “критерій оптимальності” та “цільова функція”: різні за змістом обмеження можуть описуватися однаковими рівняннями зв’язку, а одне і те ж саме обмеження в різних моделях може записуватись різними рівняннями зв’язку.

Таким чином, саме критерій оптимальності та система обмежень в першу чергу визначають концепцію функціонування майбутньої математичної моделі, її концептуальну модель, а їх формалізація, тобто побудова цільової функції та рівнянь зв’язку, представляють собою математичну модель.

Розв’язком математичної моделі називається такий набір (сукупність) значень змінних, які задовольняють її рівняння зв’язку. Розв’язки, які мають економічний зміст, називаються структурно допустимими. Моделі, які мають багато розв’язків, називаються варіантними на відміну від безваріантних, які мають один розв’язок. Серед структурно допустимих варіантних розв’язків моделі, як правило, знаходиться один розв’язок, при якому цільова функція в залежності від змісту моделі має найбільше або найменше значення. Такий розв’язок, як і відповідне значення цільової функції, називається оптимальним.