Принципи та етапи побудови економіко-математичних моделей

Для побудови як комплексу взаємозв’язаних економіко-математичних моделей, так і будь-якої окремої моделі, необхідна певна сукупність принципів (правил гри), які дають можливість коректно здійснювати процес формалізації моделюючих систем та об’єктів.

Загальні принципи економіко-математичного моделювання випливають із загальних основ системного аналізу, тобто вони повинні бути відповідями на наступні запитання: 1) що повинно бути зроблено; 2) коли повинно бути зроблено; 3) з допомогою кого повинно бути зроблено; 4) на основі якої інформації здійснюються відповідні дії; 5) який результат повинен бути отриманий на основі цих дій?

Тому в якості загальних принципів економіко-математичного моделювання доцільно прийняти наступні принципи: достатності та інваріантності використаного інформаційного забезпечення, наступності та ефективності реалізації систем моделей. Розглянемо ширше кожний із цих принципів.

Принцип достатності використаної інформації означає, що в кожній окремій моделі повинно використовуватися тільки те інформаційне забезпечення, яке відоме з необхідною для результатів моделювання точністю. Під відомим інформаційним забезпеченням розуміють нормативні, довідкові, звітні та інші характеристичні дані про реальні економічні системи та їх складові, наявні до моменту моделювання. У зв’язку з послідовною розробкою комплексу моделей, які описують складний об’єкт і формалізовані окремою моделлю, вся інформація про моделюючу систему може бути не повністю відома до моменту розв’язку деякої задачі. Проте це не заважає використанню окремої моделі, якщо вона побудована з дотриманням принципу достатності. Крім цього, виконання принципу достатності дає можливість переходити від загальних моделей до більш детальних, поступово уточнюючи та конкретизуючи результати досліджень.

Принцип інваріантності інформації вимагає, щоб у моделі вхідна інформація була незалежна від параметрів моделюючої системи, які ще не відомі на даній стадії дослідження. Використання цього принципу дає можливість позбутися при побудові моделей замкнутого кола, що часто зустрічається, коли в моделі використовується інформація, що може бути відома тільки за результатами моделювання.

Використання принципів достатності та інваріантності приводить до формування ієрархії економіко-математичних моделей для складного об’єкту, дозволяє строго визначити вхідні параметри рівняння зв’язку та цільової функції, формалізувати критерії оптимальності і обмеження для кожної окремої моделі. Так, вхідними параметрами для загального випадку можуть бути або вхідні дані моделей попереднього рівня, або результати функціонування моделей нижніх рівнів ієрархії, але отримані на основі інформації, інваріантної відносно шуканих на даному рівні змінних.

Зміст принципу наступності зводиться до того, що кожна модель не повинна порушувати властивостей об’єкту, встановлених або відображених у попередніх моделях комплексу. Отже, вибір критеріїв та моделі повинен в першу чергу грунтуватися на принципі наступності при умові, що забезпечується виконання принципів достатності та інваріантності використаної інформації. Якщо ж наступна модель не є складовою попередніх, то раніше побудовані моделі повинні бути скориговані для забезпечення принципу наступності.

Важливим із точки зору практичного використання комплексу моделей є принцип ефективності реалізації. Для його виконання необхідно, щоби кожна окрема модель могла бути реалізована з допомогою сучасних програмних та технічних засобів. З другої сторони, виконання даного принципу вимагає забезпечення відповідної точності вхідних даних, точності розв’язку задачі і тієї точності результуючої інформації, яка достатня для практичних цілей.

Наведені принципи дають можливість побудувати довільну окрему модель функціонування економічних систем і гарантують можливість її повної сумісності з іншими економіко-математичними моделями.

У залежності від конкретної ситуації можливі такі підходи до побудови моделей:

a безпосередній аналіз функціонування системи;

a проведення обмеженого експерименту над самою системою;

a використання аналогів;

a аналіз вхідних даних.

Процедуру побудови моделі та підготовку управлінського рішення на основі економіко-математичних методів можна представити з допомогою ряду взаємозв’язаних етапів, хоча в конкретних випадках деякі етапи можуть опускатися, а ряд робіт для побудови моделі – проводитись паралельно.

Базовою основою для побудови моделі об’єкта є його концептуальна модель. Під концептуальною моделлю об’єкта розуміємо сукупність якісних залежностей критеріїв оптимальності і різного роду обмежень від факторів, суттєвих для адекватного відображення функціонування об’єкта. Концептуальна модель відображає наступні основні моменти:

· умови функціонування об’єкта, визначені характером взаємодій між об’єктом та його оточенням, а також між елементами об’єкта;

· мету дослідження об’єкта та напрямок покращення його функціонування;

· можливості керування об’єктом, визначення складу керованих змінних об’єкта.

У процесі формулювання концептуальної моделі об’єкта можуть виникати такі проблеми:

· побудова спрощеного і в той же час адекватного поставленій меті дослідження сценарію функціонування об’єкта;

· формулювання та уточнення мети дослідження;

· формалізація мети в критерії оптимальності;

· формалізація зовнішніх та внутрішніх обмежень;

· вибір факторів, які описують об’єкт і його оточення, котрі повинні бути враховані при дослідженні і відповідно включені в математичну модель;

· класифікація факторів і вибір серед них в першу чергу керованих змінних.

Побудова концептуальної моделі є важливим етапом моделювання, оскільки він визначає напрямки, цілі та область дослідження. Завершальним кроком побудови концептуальної моделі є оцінка її адекватності моделюючій ситуації.

Наступним етапом є формування на основі концептуальної моделі числової математичної моделі об’єкта. Головна проблема даного етапу – визначення кількісних математичних співвідношень, які формалізують якісні залежності концептуальної моделі. Навіть при наявності повністю побудованого сценарію ці співвідношення можуть бути неочевидними. У зв’язку з цим часто виникає необхідність у виконанні проміжного етапу між побудовою концептуальної і математичної моделей об’єкта – перетворення сценарію в алгоритм, який моделює взаємодію елементів між собою та з оточенням в динаміці.

Для реалізації математичної моделі на персональних комп’ютерах вона повинна бути представлена у числовій формі, тобто задані числові значення констант, границі зміни невизначених факторів та керованих змінних, закони розподілу випадкових величин. Завершальним кроком формування математичної моделі є оцінка її адекватності по відношенню до концептуальної моделі.

Етап дослідження математичної моделі починається з її аналізу (відношення до певного класу моделей), вибору відповідного методу її розв’язку та програмного забезпечення. Головна проблема цього етапу – розробка алгоритму оптимального або найкращого в заданих умовах розв’язку певної задачі.

Завершальним кроком процедури побудови економіко-математичної моделі є оцінка точності одержаних розрахунків та вироблення на їх основі ефективних прикладних рішень.

Ефективність прийняття рішень у великій мірі залежить від рівня досягнутої цілі дослідження, яка в свою чергу визначається метою побудови моделі. Моделі можуть будуватись для досягнення наступних цілей:

1. Виявлення функціональних співвідношень – визначення кількісних залежностей між вхідними факторами моделі та вихідними характеристиками об’єкта дослідження. Подібного роду моделі за своїм характером є описовими і присутні при побудові математичних моделей будь-яких типів.

2. Аналіз чутливості – вибір із великого числа наявних факторів тих, які у великій мірі впливають на вихідні характеристики об’єкта дослідження. Моделі аналізу чутливості повинні обов’язково передбачати можливість варіації ряду факторів і можуть бути використані так само для оцінки точності розв’язків, отриманих за моделями будь-яких типів.

3. Прогноз – оцінка поведінки об’єкта на часовому інтервалі при деякому допустимому поєднанні зовнішніх умов. Переважно задачі прогнозу є динамічними відносно вхідних параметрів, і в якості незалежної змінної виступає час. Моделі прогнозу також є описовими.

4. Оцінка – визначення, наскільки адекватно об’єкт дослідження буде відповідати деяким критеріям. На відміну від розглянутих вище типів моделей моделі оцінки включають розрахунки інтегральних характеристик – критеріїв, які формалізують мету дослідження. Моделі оцінки займають проміжне місце між описовими та оптимізаційними моделями. У них задані критерій і його деяке “критичне” значення, але проводиться не оптимізація, а лише порівняння розрахункового значення з “критичним”, після чого приймається рішення про задоволення характеристик об’єкта поставленим вимогам.

5. Порівняння – співставлення обмеженого числа альтернативних варіантів систем або співставлення декількох припустимих принципів чи методів дій.

Число варіантів припускається незначним, у зв’язку з чим оцінюються всі варіанти, тобто здійснюється прямий перебір усієї множини. Хоча моделі даного типу близькі до оптимізаційних, спеціальний блок оптимізації у них відсутній.

6. Оптимізація – точне визначення такого поєднання змінних керування, при якому забезпечується екстремальне (максимальне або мінімальне в залежності від змісту критерію оптимальності) значення цільової функції. Суттєва різниця від наведеного вище випадку – наявність спеціального блоку оптимізації, який дозволяє цілеспрямовано і найбільш ефективно з обчислювальної точки зору переглядати множину альтернативних варіантів.