Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины

Нормальным называют закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины, который описывается дифференциальной функцией

,

(33)

где a - математическое ожидание случайной величины; -среднее квадратичное отклонение нормального распределения.

График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса) приведёт на рис.8.

Рис. 8

Свойства нормальной кривой:

1. Кривая симметрична относительно прямой x = a;

2. Нормальная кривая расположена над осью x, т. е. при всех значениях x функция f (x) всегда положительна;

3. Ось Ox является горизонтальной асимптотой графика, т. к.

.

4. При x = a функция f(x) имеет максимум равный .

В точках A и B при и кривая имеет точки перегиба, ординаты которых равны: .

При этом вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит среднего квадратичного отклонения , равна 0, 6826.

В точках E и G, при и значение функции f (x) равно , а вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит удвоенного среднего квадратичного отклонения, равна 0, 9544.

Асимптотически приближаясь к оси абсцисс, кривая Гаусса в точках C и D при и очень близко подходит к оси абсцисс. В этих точках значение функции f (x) очень мало и равно , а вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратичного отклонения, равна 0, 9973. Это свойство кривой Гаусса называется «правило трех сигм»: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Изменение величины параметра a (математического ожидания случайной величины) не изменяет форму нормальной кривой, а приводит лишь к ее смещению вдоль оси Оx: вправо, если a возрастает, и влево, если a убывает.

При a= 0 нормальная кривая симметрична относительно оси ординат.

Изменение величины параметра (среднего квадратичного отклонения) изменяет форму нормальной кривой: с возрастанием ординаты нормальной кривой убывают, кривая растягивается вдоль оси Оx и прижимается к ней. При убывании ординаты нормальной кривой увеличиваются, кривая сжимается вдоль оси Оx и становится более " островершинной".

При этом, при любых значениях a и площадь ограниченная нормальной кривой и осью Оx, остается равной единице (т. е. вероятность того, что случайная величина, распределенная нормально, примет значение ограниченное на оси Оx нормальной кривой, равна 1).

Нормальное распределение с произвольными параметрами a и , т. е. описываемое дифференциальной функцией (33) называется общим нормальным распределением.

Нормальное распределение с параметрами a =0 и называется нормированным распределением (нормированная кривая) (рис. 9). В нормированном распределении дифференциальная функция распределения равна:

Рис. 9

Интегральная функция общего нормального распределения имеет вид:

.

(34)

Интегральная функция нормированного распределения имеет вид:

,

(35)

где .

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону в интервале (c, d). Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (c, d) равна

.

(36)