Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Вещественная и мнимая функции Михайлова
При построении годографа прежде всего находят точки его пересечения с осями координат. Для этого, определив из уравнения значения частот, соответствующих точкам пересечения годографа с мнимой осью, подставляют их в выражение . В результате получают соответствующие ординаты. Аналогично находят точки пересечения с действительной осью, приравнивая к нулю мнимую часть . Как видно из рисунка 9.4, годограф устойчивой системы имеет такой вид, что действительная и мнимая части функции должны строго по очереди обращаться в нуль, причем должна обращаться в нуль раз, если - четное, раз, если - нечетное число, т.е. должна иметь при , соответственно, или корней. Мнимая часть должна обращаться в нуль раз, если - четное, раз, если - нечетное число, т.е. должна иметь при , соответственно, или корней. При переходе годографа из одного квадранта в другой попеременно обращаются в нуль его вещественная и мнимая части. Отсюда вытекает следствие из критерия Михайлова, заключающееся в том, что для устойчивой системы корни уравнений U (w) = 0 и V (w) = 0 должны чередоваться (условие перемежаемости корней) и общее число этих корней должно быть равно порядку характеристического полинома. Таким образом, условие перемежаемости корней и можно принять за новый критерий устойчивости (рисунок 9.5).
а) б)
Рисунок 9ю5 Условия перемежаемости корней: выполняется (а), не выполняется (б)
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, что бы корни функций и строго перемежались. Критерий Михайлова в этой форме иногда называют критерием перемежаемости корней.
На рисунке 9.6, а показана кривая Михайлова неустойчивой системы, у которой нарушена последовательность обхода квадрантов комплексной плоскости. Система находится на апериодической границе устойчивости (рисунок 9.6, б), если кривая при w = 0 начинается в начале координат, и на периодической границе устойчивости, если кривая при w ¹ 0 проходит через начало координат. Заметим, что обозначения осей U (ω) и V (ω) обычно используются при построении частотных характеристик на комплексной плоскости не по всей передаточной функции, а лишь по ее знаменателю.
а б в
Рисунок 9.6
Число правых корней характеристического уравнения можно определить по формуле , где – это полное приращение аргумента характеристической функции (суммарный угол поворота). Вектор D (j ω) системы пятого порядка (рисунок 9.6, в) сначала поворачивается на угол 3·(π /2) или три квадранта против часовой стрелки, затем возвращается на угол 2·(π /2) или два квадранта по часовой стрелке, что в итоге соответствует полному приращению = π /2. Отсюда число правых корней m равно 5/2–1/2=2 (числу неправильных пересечений кривой осей координат). Характеристическая кривая всегда начинается в точке на действительной оси, удаленной от начала координат на величину an. Поэтому, если k входит только в свободный член an уравнения D(s) = 0, то критические значения kк р определяются из графика при нулевом значении мнимой координаты V(w) = 0: апериодическая граница по условию an = 0, периодическая граница по an = |x| + y (рисунок 9.6, а). Очевидно, что при нарушении очередности пересечения функциями оси абсцисс (частот) система неустойчива (рисунок 9.7, а). Система находится на апериодической границе устойчивости (рисунок 9.7, б), если обе функции начинаются в начале координат, и на периодической границе устойчивости (рисунок 9.7, в), если при w ¹ 0 кривые пересекают ось частот в одной точке. В остальном диапазоне изменения функций условия устойчивости при этом не должны нарушаться. Частота w, при которой система находится на периодической границе устойчивости, равна частоте незатухающих колебаний.
а б в г Рисунок 9.7
На графике с кривой Михайлова обязательно должен указываться порядок системы n, так как при его отсутствии может быть сделан ошибочный вывод.
9.3 Применение критерия Михайлова А.В. для анализа устойчивости линейных САР. Рассмотрим на примере №1 применение критерия Михайлова А.В. для анализа устойчивости линейной САР, структурная схема которой приведена на рис. 9.8. Здесь
Рис.9.8. Структурная схема исследуемой системы
. Определим передаточную функцию замкнутой системы
и запишем ее характеристический полином перейдем к выражению для годографа Михайлова
и представим его в форме
С целью построения годографа Михайлова вычислим значения вещественной и мнимой частей при конкретных значениях частоты и занесем их в таблицу.
По данным таблицы построим годограф Михайлова. Как видим из рис. 9.9, он проходит последовательно три квадранта, не обращаясь в нуль и стремясь к бесконечности в третьем квадранте. Следовательно, система устойчива.
Пример №2. Проверить устойчивость системы, структурная схема которой приведена на рис.9.10. Данная система представляет собой упрощенную модель одного из сочленений руки робота-манипулятора. Исполнительным механизмом является двигатель постоянного тока, а соединение с рукой осуществляется через редуктор.
Рис. 9.10. Структурная схема руки робота
Здесь – напряжение, подаваемое на якорь двигателя; – угловая скорость вращения двигателя; – угол поворота вала двигателя; – угол поворота руки. При отсутствии возмущений взаимосвязь между скоростью вращения двигателя и входным напряжением определяет передаточная функция , а угол поворота вала двигателя связан с его угловой скоростью вращения зависимостью . Ей соответствует на схеме вторая передаточная функция . Редуктор представляет собой безынерционное звено с передаточной функцией , где r – передаточное отношение редуктора. Проверим устойчивость системы при следующих значениях параметров передаточных функций: , . Определим общую передаточную функцию сочленения руки робота
и запишем характеристический полином выражение для годографа Михайлова представим в форме Поскольку при вещественная и мнимая части одновременно обращаются в нуль, годограф Михайлова начинается в начале координат. Это означает, что система находится на границе устойчивости.
|