![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Гладкие динамические системы
В этом случае множество моментов времени совпадает с вещественной осью:
Все эти векторы являются функциями времени. Переходная функция
а выходное отображение определяется преобразованием
где 6.5.2 Системы с дискретным временем Многие современные системы управления основаны на принципе цифровой обработки информации. Сигналы в таких устройствах представляют собой последовательность импульсов, квантованных по времени, т.е. определенных в равноотстоящие моменты времени
где является дискретным (решетчатым). Множества состояний, управляющих воздействий и наблюдений также являются дискретными: В этом случае все векторы, определяющие динамическую систему, заданы на временной решетке и зависят от индекса
Для систем с дискретным временем переходная функция является решением разностного уравнения
а выходное отображение аналогично (6.2):
где Отметим, что в данном пособии и впредь мы будем нижним индексом D отмечать объекты, рассматриваемые в дискретном времени. Представление управляемых динамических систем в дискретном времени весьма удобно и естественно при использовании цифровых управляющих устройств, поскольку в этом случае расчет всех параметров и выдача управляющих воздействий задаются шагами алгоритма управления. 6.5.3 Линейные динамические системы 1. Системы с непрерывным временем. В том случае, когда функции
Если матрицы А, В,
Системы (6.4) и (6.5) дополняются начальными условиями: при Первое уравнение системы (6.5) можно формально записать в виде
Тогда взаимодействие сигналов в системе может быть представлено так, как показано на рисунок 6.3. Двойные стрелки на рисунке обозначают векторный сигнал. Рисунок 6.3 Структурная схема линейной динамической системы
Наряду с представлением линейных динамических систем в виде системы из 2. Системы с дискретным временем. Аналогично (6.6) для стационарных систем модель (6.3) примет вид:
где Взаимодействие сигналов в системе с дискретным временем согласно (6.7) также может быть представлено в виде схемы на рисунке 6.3 с теми отличиями, что блок интегрирования заменяется блоком суммирования, а сигнал обратной связи задерживается на один такт. Покажем, как можно перейти от модели системы с непрерывным временем к системе с дискретным временем. Положим, что система содержит квантователь сигнала (Рисунок 6.3) и при
Тогда формулы (6.5) примут вид: Выполнив преобразования в первой формуле, приведем систему к виду (6.7), где матрицы определяются следующим образом:
При Не вызывает трудностей и обратный переход - от модели динамической системы в дискретном времени (6.7) к модели в непрерывном времени (5.6). В этом случае в уравнении нужно выделить разность
6.5.4 Переходные функции линейных динамических систем В данном параграфе мы кратко рассмотрим аналитические решения уравнений динамики линейных систем. При этом будут использованы известные результаты теории дифференциальных уравнений. 1. Переходные функции линейных систем с непрерывным временем. Аналитическое решение уравнения (6.6) при векторе начальных условий
или
где Фундаментальная матрица удовлетворяет однородному матричному уравнению при начальном условии Выражение
2. Переходные функции линейных динамических систем с дискретным временем. из уравнения (6.6) при заданном
и в общем случае:
Мы получим формулу, по структуре напоминающую формулу (6.8), в которой операция интегрирования заменена суммированием, а роль фундаментальной матрицы Представление сложных динамических систем в рассмотренном матричном виде позволяет создать удобные методы их анализа с помощью ЭВМ. Как видно из формул (6.8), (6.9) и (6.10), вычисление переходных функций связано с возведением в высокие степени матриц Однако в данном курсе мы эту теорию рассматривать не будем, он будет изложена в курсе «Основы теории управления» 6.5.5 Понятие передаточной функции системы 1. матричные передаточные функции. Мы начнем рассмотрение понятия передаточных функций со стандартной модели линейной управляемой динамической системы
Здесь Выбор нулевых начальных условий объясняется тем, что на практике, особенно в случае рассмотрения линеаризованных систем полагают, что при В координатной форме уравнение (6.11) имеет вид:
с начальными условиями Применив преобразование Лапласа к матричному уравнению (6.11) и воспользовавшись правилом получения изображения производных функций (свойство 7, преобразования Лапласа, п. 5.3.1) при нулевых начальных условиях, получим:
откуда где Из последнего выражения следует или
где
Множитель 2. Динамическая система, заданная дифференциальным уравнением
Здесь
причем функция Умножение правой части (6.14) на Применим к обеим частям уравнения (6.14) преобразование Лапласа. Пусть Используя теорему об изображении суммы, теорему линейности, теорему об изображении производных и нулевые начальные условия функции
Начальные значения функции Отсюда можно получить выражение для изображения выходной величины
Обозначим дробь в написанном выражении
Тогда уравнение (26) принимает простой вид
Скалярная функция комплексного аргумента Из формулы (6.17) следует определение: передаточной функцией линейной системы с постоянными коэффициентами называется отношение изображения выходного сигнала системы к изображению входного сигнала системы при нулевых начальных условиях. При
где K называется коэффициентом передачи системы и определяет отношение выходного сигнала к входному при установившемся состоянии:
3. Дискретная передаточная функция. По аналогии с системами непрерывного времени под дискретной передаточной функцией понимают зависящее от Пусть динамическая система задана системой разностных уравнений первого порядка:
где
Применим
Отсюда
Рассмотрим теперь систему, заданную разностным уравнением
где Применим к данному уравнению
откуда следует выражение для дискретной передаточной функции
которое по структуре напоминает передаточную функцию (6.16).
6.6 Конечные автоматы (F – модели) Рассмотрим распространенный вид моделей систем, относящийся к F -схемам. Это – теория автоматов, которую можно рассматривать как частный случай общей теории систем с дискретным временем и дискретным множеством состояний. На основе этой теории система представляется в виде автомата, перерабатывающего дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени. Понятие «автомат» варьируется в зависимости от характера конкретно изучаемых систем, от принятого уровня абстракции и целесообразной степени общности. Основные соотношения. Автомат можно представить как некоторое устройство (черный ящик), на которое подаются входные сигналы и снимаются выходные и которое может иметь некоторые внутренние состояния. Конечным автоматом называется автомат, у которого множество внутренних состояний и входных сигналов (а, следовательно, и множество выходных сигналов) являются конечными множествами. Абстрактно конечный автомат (по-английски finite automata) можно представить как математическую схему (F- схему), характеризующуюся шестью элементами: • конечным множеством U входных сигналов (входным алфавитом); • конечным множеством У выходных сигналов (выходным алфавитом); • конечным множеством X внутренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состояний); • начальным состоянием • функцией переходов • функцией выходов Автомат, задаваемый F- схемой: Абстрактный конечный автомат имеет один входной и один выходной каналы. В каждый момент Таким образом, работа конечного автомата происходит по следующей схеме: в каждом t-м такте на вход автомата, находящегося в состоянии
для F -автомата второго рода
Иными словами, автомат первого рода реагирует на входной сигнал Автомат второго рода, для которого
то есть функция выходов не зависит напрямую от входной переменной Таким образом, уравнения (6.21) – (6.23), полностью задающие F- автомат, являются частным случаем общего описания динамической системы с дискретным временем (6.3), (6.4), когда система детерминированная и на ее единственный вход поступает дискретный сигнал По числу состояний различают конечные автоматы с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти (комбинационные или логические схемы) обладают лишь одним состоянием. При этом, согласно (6.21), работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в соответствие каждому входному сигналу
По характеру отсчета дискретного времени конечные автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных F - автоматах моменты времени, в которые автомат «считывает» входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. После очередного синхронизирующего сигнала с учетом «считанного» и в соответствии с уравнениями (6.21) – (6.23) происходит переход в новое состояние и выдача сигнала на выходе, после чего автомат может воспринимать следующее значение входного сигнала. Таким образом, реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт, длительность которого определяется интервалом между соседними синхронизирующими сигналами. Асинхронный F – автомат считывает входной сигнал непрерывно, и поэтому, реагируя на достаточно длинный входной сигнал постоянной величины Возможные приложения. Для того, чтобы задать конечный F -автомат, необходимо описать все элементы множества Простейший табличный способ задания конечного автомата основан на использовании таблиц переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы – его состояниям. При этом обычно первый слева столбец соответствует начальному состоянию В заключение отметим, что концепция конечных автоматов получила применение в программировании. Профессором А.А. Шалыто в 1991 г. был предложен новый стиль программирования, названный им «автоматное программирование», основанный на применении конечных автоматов для описания поведения программ (https://is.ifmo.ru/). В автоматном программировании конечные автоматы используются для описания поведения программ при их спецификации, проектировании, реализации, отладке, документировании и сопровождении. Под термином «автоматное программирование» понимается не только построение и реализация конечных автоматов, но и проектирование и реализация программ в целом, поведение которых описывается автоматами. Существуют различные модели для описания конечных автоматов. Однако их представление в виде графов переходов (диаграмм состояний) наиболее удобно для человека. 6.7 Модели дискретно – статистического типа (P - модели)
В настоящем параграфе мы рассмотрим вероятностные модели информационных процессов. Наиболее простой класс вероятностных моделей дискретно-стохастического типа (P – схемы по рассмотренной ранее классификации) образуют цепи Маркова, названные так по имени известного русского математика А.А. Маркова, разработавшего эту теорию в 1907 году. Большой вклад в теорию цепей Маркова внес академик А.Н. Колмогоров. Возможности теории цепей Маркова далеко выходят за рамки описания информационных процессов и систем. Эта теория широко применяется в физике, биологии, социологии, экономике, технике и целом ряде других наук. Математический аппарат цепей Маркова позволяет оценивать многие характеристики информационных процессов систем, такие как вероятное время завершения определенных этапов работы, средняя производительность, среднее время безотказной работы и другие. Здесь приводятся только начальные сведения об этих моделях. Более подробно теория и применение цепей Маркова рассматривается в специальной литературе [13] и курсе «Моделирование систем» [17].
6.6.1 Определение цепи Маркова Рассмотрим систему å, находящуюся в каждый из дискретных моментов Система рассматривается в множество моментов времени
Каждый элемент матрицы
Причем (и это основное свойство марковских процессов) вероятность перехода из Понятно, что переходы во все возможные состояния (в том числе в себя) образуют полную группу событий, поэтому Пусть вектор-строка
где Нетрудно видеть, что правая часть написанной формулы определяет произведение вектора
Последовательность состояний В этом случае рекуррентная формула (6.27) может быть записана в виде
…·
где Нетрудно убедиться, что сумма вероятностей нахождения системы во всех состояниях (т.е. сумма элементов вектора Последовательность векторов Цепь Маркова можно представить как динамическую систему (рисунок 6.4), в которой прямоугольник 1 представляет собой задержку на 1 такт.
Рисунок 6.4 Цепь Маркова как динамическая система
Отметим, что матрицы P, порождающие цепи Маркова, т.е. такие, у которых все элементы
называют стохастическими. Множество состояний
где I – единичная матрица. Каждый элемент Зная
где - В ряде случаев исследователя может интересовать оценка дисперсии трудоемкости процесса. Для этой цели вычисляется матрица дисперсий числа пребываний процесса в множестве невозвратных состояний по формуле:
где индексы Ниже мы рассмотрены два примера описания информационных процессов в рамках формализма цепей Маркова.
6.6.2 Модель динамики информационных ресурсов Рассмотрим методику оценки динамики информационного ресурса, основанную на модели жизненного цикла информационного ресурса, приведенной в первой главе (п.1.2.5) Пусть имеется множество информационных ресурсов R = { Представим жизненный цикл ИР в виде цепи Маркова с дискретным временем, содержащей пять состояний:
Граф этой цепи приведен на рисунке 6.5
Рисунок 6.5. Вероятностная модель жизненного цикла информационного ресурса Вероятности перехода между состояниями ресурса
Ресурс · время поступления ИР в информационную систему · продолжительность «жизни» ИР · объем поступившего ресурса · · Ресурс, поступивший в систему (в состояние Динамика изменения состояния ИР определится уравнениями:
Общий объем ресурсов
где Общий объем ресурсов
Расчетный объем ИР
Расчеты по формулам (6.33) – (6.36) для матрицы (6.22) и исходных данных по объемам поступающих ресурсов удобно производить с помощью специальной программы [32].
Пример. Рассмотрим систему, содержащую информационный ресурс, динамика которого задается матрицей
Предположим, что на вход системы в каждый момент времени поступает ресурс в объеме
а б Рисунок 6.6. Графики жизненного цикла информационного ресурса за 100 шагов, динамика которого задана матрицей
|