Касательные напряжения в турбулентном потоке.

Движение жидкости при турбулентном режиме всегда должно происходить со значительно большей затратой энергии, чем при ламинарном, так как энергия затрачивается не только на преодоление вязких напряжений, но и тех дополнительных, которые характерны для турбулентного потока и связаны с преодолением сопротивлений пульсации скорости. Явление перехода энергии движения в тепло называют диссипацией энергии. Диссипация увеличивается при приближении от центра ядра турбулентности, в пристеночном слое наблюдается зона max диссипации энергии.

Если учитывать, что действие вязкости единственная причина преобразования энергии потока в тепло, то можно объяснить и увеличение количества рассеянной энергии при возрастании турбулентности. Это объясняется тем, что каждый их вихрей в каждый момент времени сам становится источником дополнительного вязкого напряжения, это явление носит название вихревой вязкости.

Наличие вихрей разных размеров приводит к тому, что появляются дополнительные так называемые турбулентные касательные напряжения, обусловленные самой природой движения. Ж. Буссинеск ввел специальное понятие коэффициента молярной (вихревой) вязкости, с помощью которого можно выразить это добавочное напряжение от пульсации в функции от среднего градиента скорости.

С учетом этого можно записать, что в общем случае для турбулентного режима движения

и соответственно

, где

и .

Величина называется динамической турбулентной вязкостью, а ее размерность такая же, как у динамической (молекулярной) вязкости μ, которая зависит от рода жидкости. Значение выражает вихревую (молярную) вязкость и зависит от характера движения. Динамической турбулентной вязкости так же соответствует кинематическая турбулентная вязкость , с учетом которой .

В 1897 г. Ж. Буссинеск, используя аналогию между турбулентным движением жидкости и тепловым движением молекул газа, принял, что турбулентные касательные напряжения

.

Тогда и следовательно ,

то есть кинематическая турбулентная вязкость определяется пульсационными характеристиками, которые выражают природу турбулентного режима движения.

При любом числе Re меньше критического динамическая турбулентная вязкость равна нулю и тогда для ламинарного режима движения

,

то есть потери на трение пропорциональны скорости в первой степени. В вязком подслое турбулентного потока течение обуславливается вязким трением и поэтому для него справедлива эта зависимость.

Для числа Re более критического вихревая вязкость значительно возрастает, а при весьма больших значениях Re (вполне развитое турбулентное движение) она возрастает настолько, что полностью умаляет значение молекулярной вязкости. Другими словами для турбулентного ядра напряжения, вызываемые молекулярной вязкостью и зависящие от градиента осредненной скорости, ничтожны по сравнению с добавочными турбулентными (вихревыми) напряжениями. В связи с этим для полностью развитой турбулентности, можно пренебречь μ и записать (1)

Если принять связь между турбулентными характеристиками и скоростью осредненного потока по Л. Прандтлю, то динамическая турбулентная вязкость может быть представлена в виде .

Величина называется длиной пути смешения, или перемешивания под которой понимается проекция на ось пути, достаточно для того чтобы частицы, попадающие из одного слоя в другой, полностью приобретали его кинематические характеристики. Длина пути смешения (2)

где κ - универсальная постоянная Кармана, равная 0, 4 для круглой трубы;

z- расстояние от границы (в площади живого сечения) до той точки, где измеряется касательное напряжение.

С учетом значения зависимость (1) можно записать

(3)

Таким образом, потери на трение при турбулентном режиме движения пропорциональны скорости во второй степени.

Для переходной области влияние обоих видов вязкости соизмеримо и поэтому

.