Свойства корня n-ой степени.

Теорема 1. Корень n-й степени(2, 3, 4…) из производных 2-х неотрицательных чисел равен произведений корней n-й степени из этих чисел.

= * ;

Теорема остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел.

Теорема 2. Если a 0, b 0 и n-натуральное число, больше 1, то справедливо равенство: =

Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней.

Теорема позволяет нам перемножать т олько корни одинаковой степени, т.е. только корни с одинаковым показателем.

Теорема 3. Если a 0, k-натуральное число и n-натуральное, больше 1, то справедливо равенство:

=

Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Это — следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем:

= * * = = . Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.

Теорема 4. Если a 0 k, n-натуральное числа, больше 1, то справедливо равенство:

= ;

Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.
Например, = ; = ; = .

Будьте внимательны! Мы узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак.
Например, вместо + 27 нельзя написать + . В самом деле,

В самом деле, , a + = 2+3=5. Но ведь очевидно, что 5

Теорема 5. Если показатели корня подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится, т.е. = .

4, 5.ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЛОГОРИФМОВ.

- – логарифм числа b по основанию a (a 0, a 1, b 0);

- - десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a=10);

- – натуральный логарифм (логарифм по основанию e, a=e).

Формулы и свойства логарифмов:

Для любых a; a> 0; a 1 и для любых x; y> 0.

= b- основание логарифмическое тождество;

1) = 0,

2) = 1,

3) = + ,

4) = - ,

5) = - ,

6) = p ,

7) = 1k , при k 0,

8) = ,

9) = – формула перехода к новому основанию,

10) = .

6.ФУНКЦИЯ у = , ЕЁ СВОЙСТВА И ГРАФФИК.

Квадратичная функция – это функция, которую можно задать формулой вида

y = ax ² + bx + c,

где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причём а ≠ 0.

Областью определения квадратичной функции является множество всех чисел. (Напомним: областью определения функции называется совокупность значений независимой переменной)

Функция y = ax².

Функция y = ax ² – это частный случай квадратичной функции.

Графиком функции y = ax ² является парабола.

Свойства функции y = ax ² при a > 0:

1. Если x = 0, то y = 0.

График функции проходит через начало координат.

2. Если x ≠ 0, то y > 0.

График функции расположен в верхней полуплоскости.

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Пояснение: допустим, x = –2, y = 8. При x = 2 значение y не меняется и составляет 8.

4. В промежутке (–∞; 0] функция убывает, а в промежутке [0; +∞) - возрастает.

5. Наименьшее значение функции равно нулю. Это значение она принимает при x = 0.

Наибольшего значения функция не имеет. Т.е. областью значений функции является промежуток [0; +∞).

Свойства функции y = ax ² при a < 0:

1. Если x = 0, то y = 0.

График функции проходит через начало координат.

2. Если x ≠ 0, то y < 0.

График функции расположен в нижней полуплоскости.

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

График функции представляет собой симметричную фигуру относительно оси y.

Пояснение: допустим, x = –4, y = –8. При x = 4 значение y не меняется и составляет –8.

4. В промежутке (–∞; 0] функция возрастает, а в промежутке [0; +∞) - убывает.

5. Наибольшее значение функции равно нулю. Это значение она принимает при x = 0.

Наименьшего значения функция не имеет. Т.е. областью значений функции является промежуток (–∞; 0].

7.ФУНКЦИЯ y= , ЕЁ СВОЙСТВА И ГРАФИК.

Опре­де­ле­ние.Квад­рат­ным кор­нем из неот­ри­ца­тель­но­го числа “a” на­зы­ва­ет­ся такое неот­ри­ца­тель­ное число “b”, квад­рат ко­то­ро­го равен “a”.

{ = b --- { = a

{a 0 --- {b≥ 0

Свойства функции:

1. Область определения функции является луч [0; +∞);

2. y=0 при х=0 из этого следует что начало координат принадлежит графику функции; y> 0 при x> 0, а значит график располагается в первой координатной четверти (первом координатном угле)

3. Функция возрастает на луче [0; +∞); Другими словами на этом луче, большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

4. Функция имеет наименьшее значение, и не имеет наибольшего значения. Данное значение достигается тогда, когда х=0;

5. Функция непрерывна.

6. Функция выпукла вверх.

7. Область значений функции y=√ x является луч [0; +∞)
Следует отметить, что график функции y=√ x симметричен относительно оси симметрии у=х с графиком функции y=x^2, при x> 0. Этот факт отражен на рисунке ниже.

8.ФУНКЦИЯ y= , ЕЁ СВОЙСТВА И ГРАФИК.

Функцию, заданную формулой y = , называют логарифмической функцией с основанием a.

(a > 0, a ≠ 1)

Основные свойства логарифмической функции:

1. Область определения логарифмической функции - множество всех положительных чисел. D (f)=(0; +∞);

2. Множество значений логарифмической функции - множество R всех действительных чисел. E (f)=(− ∞; +∞);

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при a > 1 или убывает при 0< a < 1.

Логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной;
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
не ограничена сверху, не ограничена снизу;

График любой логарифмической функции y = y = проходит через точку (1; 0).