Решение квадратных неравенств методом интервалов.

Метод интервалов является универсальным методом решения неравенств, в частности, он позволяет решать квадратные неравенства с одной переменной. В этой статье мы подробно осветим все нюансы решения квадратных неравенств методом интервалов. Сначала приведем алгоритм, после чего детально разберем готовые решения характерных примеров.

Итак, алгоритм решения квадратных неравенств методом интервалов таков:

- Находим нули квадратного трехчлена a·x²+b·x+c из левой части квадратного неравенства.

- Изображаем координатную прямую и при наличии корней отмечаем их на ней. Причем если решаем строгое неравенство, то отмечаем их пустыми (выколотыми) точками, а если решаем нестрогое неравенство – то обычными точками. Они разбивают координатную ось на промежутки.

- Определяем, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке (если на первом шаге были найдены нули) или на всей числовой прямой (если нулей нет), как это сделать расскажем чуть ниже. И проставляем над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.

- Если решаем квадратное неравенство со знаком > или ≥, то наносим штриховку над промежутками со знаками +, если же решаем неравенство со знаком < или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −. В результате получаемгеометрический образ некоторого числового множества, которое и является искомым решением неравенства.

- Записываем ответ.

Как и обещали, разъясняем третий шаг озвученного алгоритма. Существует несколько основных подходов, позволяющих находить знаки на промежутках. Будем их изучать на примерах, и начнем с надежного, но не самого быстрого способа, заключающегося в вычислении значений трехчлена в отдельно взятых точках промежутков.

Возьмем трехчлен x²+4·x− 5, его корнями являются числа − 5 и 1, они разбивают числовую ось на три промежутка (− ∞, − 5), (− 5, 1) и (1, +∞).

Определим знак трехчлена x²+4·x− 5 на промежутке (1, +∞). Для этого вычислим значение данного трехчлена при некотором значении x из этого промежутка. Целесообразно брать такое значение переменной, чтобы вычисления были простыми. В нашем случае, например, можно взять x=2 (с этим числом вычисления проводить проще, чем, к примеру, с 1, 3, 74 или 5 ). Подставляем его в трехчлен вместо переменной x, в результате получаем 2²+4·2− 5=7. 7 – положительное число, это означает, что любое значение квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) будет положительным. Так мы определили знак +.

Для закрепления навыков определим знаки на оставшихся двух промежутках. Начнем со знака на интервале (− 5, 1). Из этого интервала лучше всего взять x=0 и вычислить значение квадратного трехчлена при этом значении переменной, имеем0²+4·0− 5=− 5. Так как − 5 – отрицательное число, то на этом интервале все значения трехчлена будут отрицательными, следовательно, мы определили знак минус.

Осталось выяснить знак на промежутке (− ∞, − 5). Возьмем x=− 6, подставляем его вместо x, получаем (− 6)²+4·(− 6)− 5=7, следовательно, искомым знаком будет плюс.

Но быстрее расставить знаки позволяют следующие факты:

- Когда квадратный трехчлен имеет два корня (при положительном дискриминанте), то знаки его значений на промежутках, на которые эти корни разбивают числовую ось, чередуются (как в предыдущем примере). То есть, достаточно определить знак на одном из трех промежутков, и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей знаков: +, −, + или −, +, −. Более того, можно вообще обойтись без вычисления значения квадратного трехчлена в точке промежутка, а сделать выводы о знаках по значению старшего коэффициента a: если a> 0, то имеем последовательность знаков +, −, +, а если a< 0 – то −, +, −.

- Если же квадратный трехчлен имеет один корень (когда дискриминант равен нулю), то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. То есть, достаточно определить знак над одним из них, а над другим – поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −. Вывод по знакам можно также сделать на основе значения коэффициента a: если a> 0, то будет +, +, а если a< 0, то −, −.

- Когда квадратный трехчлен корней не имеет, то знаки его значений на всей числовой прямой совпадают как со знаком старшего коэффициента a, так и со знаком свободного члена c. Для примера рассмотрим квадратный трехчлен− 4·x²− 7, он не имеет корней (его дискриминант отрицательный), и на промежутке (− ∞, +∞) его значения отрицательны, так как коэффициент при x²есть отрицательное число − 4, и свободный член − 7 тоже отрицателен.

Теперь все шаги алгоритма разобраны и остается рассмотреть примеры решения квадратных неравенств с его использованием.