Метод основных построений

Лекция 1. Задачи на построение в курсе геометрии основной школы

Основная цель: рассмотреть с учащимися новый тип геометрических задач – задачи на построение. Сформировать умение выполнять основные построения с помощью циркуля и линейки, познакомить со структурой процесса решения задач на построение и методами их решения.

Содержание учебного материала

Первоначально с задачами на построение учащиеся знакомятся в 7 классе. В качестве инструментов построения чаще всего являются линейка и циркуль. С помощью линейки как инструмента геометрических построений можно провести произвольную прямую; произвольную прямую, проходящую через данную точку; произвольную прямую, проходящую через две данные точки. Никаких других операций выполнять линейкой нельзя.

Циркуль как инструмент геометрических построений позволяет описать из данного центра окружность данного радиуса. В частности, циркулем можно отложить данный отрезок на данной прямой от данной точки» (П., с. 58). В учебнике А. конструктивные возможности линейки и циркуля описываются несколько иначе (см. с. 44).

В геометрии среди задач на построение выделяют так называемые основные построения. Перечислим их с указанием наличия в школьных учебниках.

При изучении основных преобразований полезно предложить учащимся завести альбом и использовать следующую форму записи

Пример 1.

ОП 2. Построение угла, равного данному углу.

А Дано:   Построить: Ð А1В1С1. Условия: Ð АВС =Ð А1В1С1.

Построение.       р

План построения. 1. р – прямая. 2. В1 Î р. 3. Окружность (В, r). 4. М – точка пересечения окружности и ВС. 5. N – точка пересечения окружности и АВ 6.Окр. (В1, r). 7. С1 – точка пересечения окружности (6) и прямой р. 7. Окружность (С1, МN) 8. А1 – точка пересечения окружности (6) и (7) 9. В1А1. 10. Ð А1В1С1 = Ð АВС.

Пример 2.

ОП 10.

Дано: Построить D АВС. Условия: Ð С = 90°, АВ = с, ВС = а.

Построение

План построения. 1. Прямая l. 2. Точка СÎ l. 3. Прямая п (ОП 5). 4. Окр. (С; а). 5. Точка В= п∩ Окр.(С; а). 6. Окр. (В; с). 7. Точка А= l ∩ Окр.(В; с). 8. D АВС.

Изучение основных построений кроме реализации геометрических целей способствует формированию алгоритмической культуры учащихся.

Кроме основных построений в геометрии 7 – 9 классов рассматриваются в явном или в неявном виде другие методы решения задач. В учебнике А. приводится схема решения задач на построение:

1. Анализ: отыскание способа решения задачи путём установления связей между искомыми элементами и данными задачи. В результате анализа составляется план построения.

2. Построение: реализация плана.

3. Доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условию задачи.

4. Исследование, предполагающее ответ на 2 вопроса: всегда ли задача имеет решение и если имеет, то сколько. Исследование проводится по каждому пункту плана построения.

Рассмотрим методы решения задач на построение, используемые в школе, и приведём примеры.

Метод основных построений

Его суть состоит в том, что при выполнении анализа задачи следует подобрать последовательность основных построений, приводящих к построению искомой фигуры. При решении задач этим методом полезен эвристический приём под девизом «ищи треугольник».

№ 1 (А. 351). Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне.

Дано: Анализ: План построения:

1. D АСН (ОП 10).

2. ω - Окр. (С, а).

3. В = ω ∩ АН.

4. D АВС.

Построить D АВС.

Условия:

ВС = а, АС = b, DАСН – прямоугольный, он может быть

СН = h, СН ^ АВ. построен по катету НС и гипотенузе АС.

Это ОП 10. Вершина В определяется как

точка пересечения прямой АН и окр. (С, а).

Построение

Доказательство

1. СН – высота D АВС, СН = h (по построению).

2. АС = b (по построению).

3. ВС = а (по построению).

D АВС удовлетворяет условиям построения.

Исследование

1. D АСН может быть построен, если b > h_c.

3. Точка В может быть построена, если а > h_c.

Задача имеет единственное решение.

№2. (А. 872). Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.

Дано: Анализ:

Построить DАВС.

Условия:

СВ = а; ВС = b;

СL – биссектриса угла С, СL = l_c.

Попытаемся установить зависимость между а, b и l_c. Для этого проведём ВК || AC до пересечения с CL.

DСКВ - равнобедренный (Ð 1=Ð 2, Ð 1=Ð 3: Ð 2=Ð 3). Его можно построить, если удастся построить LK. Так как DACL ~ DBKL, то LK может быть построен как 4-ый пропорциональный отрезок к трём данным (ОП 14).

План построения.

1. 2. СК. 3. DСКВ 4. СА. 5. DАВС.