В анализе линейных стационарных систем

Сущность метода заключается в следующем. Пусть задана некоторая функция , причем такая, что для нее существует преобразование Лапласа ( -преобразование)

,

то есть интеграл в правой части этого равенства является сходящимся.

- называется оригиналом, а - изображением. При переходе от оригиналов к изображениям операции дифференцирования и интегрирования заменяются операциями соответственно умножения и деления изображений на . Это позволяет дифференциальное уравнение относительно заменить на алгебраическое уравнение относительно . Решив это алгебраическое уравнение и найдя , получим изображение решения исходного дифференциального уравнения.

Для определения самого решения можно использовать обратное преобразование Лапласа

,

где .

Для нахождения можно во многих случаях избежать непосредственного вычисления интеграла, воспользовавшись таблицей соответствий “оригинал - изображение” (приложение 2). Метод анализа систем (решение обыкновенных дифференциальных уравнений) сводится к следующей схеме, рис. 3.

При исследовании одномерных систем применение преобразования Лапласа основано на переходе от модели в форме дифференциального уравнения к модели в форме передаточной функции.

Пространство оригиналов	Уравнение относительно f(t) и начальные условия		Искомая функция
Пространство изображений	Алгебраическое уравнение относительно изображения F(s)	Þ	Изображение F(s)

Рис.3

Пример 6 [4, c.146]. Математическая модель системы имеет вид:

Начальное состояние системы:

Определить свободную составляющую движения системы

Считаем u(t)=0 (так как определяется ) и преобразуем каждый член уравнения по Лапласу:

После преобразования по Лапласу исходное дифференциальное уравнение сделается алгебраическим относительно изображения:

Откуда

Знаменатель этой дроби (характеристическое уравнение) имеет корни (собственные числа):

Поэтому

Для определения оригинала соответствующего изображению находим обратное преобразование Лапласа (приложение 2):

Пример 7. Для электрической схемы, рис.1, определить закон изменения тока, соответствующий изменению e(t)=t в. Начальные условия Параметры схемы

Математическая модель схемы в данном случае принимает вид:

1 способ решения.

Характеристическое уравнение:

Собственные числа:

Поэтому

определенное, например, по виду правой части имеет вид

.

Следовательно,

Постоянные определим из начальных условий

Окончательно закон изменения тока в схеме имеет вид

2 способ решения.

Вычислим преобразование Лапласа от обеих частей дифференциального уравнения (модели схемы):

Далее

Вычислив оригинал (приложение 2), получим:

Таким образом, оба способа решения дали одинаковый результат, что и следовало ожидать.

Пример 8. Математическая модель системы имеет вид:

Определить переходную функцию h(t), то есть закон изменения выходной переменной при подаче на вход системы воздействия в виде единичной ступенчатой функции u(t)=1(t), начальные условия нулевые.

1 способ.

Определим

Характеристическое уравнение:

Собственные числа:

Поэтому

Определим

определяем по виду правой части (приложение 2), .

Следовательно,

Постоянные определяются из начальных условий

Окончательно,

2 способ.

Модель системы в форме передаточной функции имеет вид:

Так как

то .

Проведем следующие преобразования:

Неизвестные коэффициенты определим из равенства

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений

Таким образом,

Поэтому

.

Для нахождения оригиналов запишем знаменатель в виде

.

Теперь

.

По формулам приложения 2 имеем

Окончательно,