Вопрос 18. Сложение целых неотрицательных чисел. Виды простых задач на сложение и их теоретико -множественный смысл.

Рассмотрим задачу, которую решают первоклассники: «Петя нашел 4 гриба, а Нина — 3. Сколько всего грибов нашли ребята?» Задача решается при помощи действия сложения: 4 + 3 = 7. Но как объяснить, почему использовано сложение, а не другое действие?

Представим условие задачи наглядно, изобразив каждый гриб, который нашел Петя, кружком, а каждый гриб, найденный Ниной, квадратом. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо к грибам Пети добавить (присоединить) грибы Нины, т. е. объединить два множества грибов, и сосчитать, сколько в этом объединении оказалось элементов. Видим, что сложение целых неотрицательных чисел оказывается тесно связанным с операцией объединения множеств.

Рассмотрим еще одну задачу. Найдем число элементов в объ­единении множеств А ={a, b, c, d} и В={с, х, у). Нетрудно установить, что n(А)= 4, n(В) = 3, A U B = {a, b, с, к, х, у}, но n (A U В) =4 + 3. Почему так?

Дело в том, что множества А и В в этой задаче пересекаются, и, значит, число элементов в их объединении не совпадает с суммой n(А)+n(В).

Поэтому сумму целых неотрицательных чисел определяют че­рез объединение непересекающихся множеств.

Определение. Суммой целых неотрицательных чисел a и b называют число элементов в объединении непересекающихся множеств A и B, таких, что n(A)=a, n(B)=b:

a + b = n(AUB), где n(А) = а, n(В) = b и А∩ В = 0

Пример. Объясним, пользуясь данным определением, что 5 + 2 = 7. 5 — это число элементов некоторого множества А, 2 — число элементов некоторого множества В, причем их пересечение должно быть пусто. Возьмем, например, множества А={х, у, z, t, p}, В ={а, b}. Объединим их: АUВ = {х, у, z, t, р, а, b]. Путем пересчета устанавливаем, что п (AUВ) = 7. Следовательно, 5 + 2 = 7.

О О О О

DDD

DDD

О О О О

В связи с рассмотренным примером может возникнуть вопрос: а не зависит ли сумма чисел 5 и 2 от выбора непересекающихся множеств А и В, таких, что n(А) = 5, n(В) = 2? Иными словами, если взять другие непересекающиеся множества А и В, но удовлетворяющие условию n (A) = 5 и n(B) = 2, то не изменится ли сумма 5 + 2? По всей видимости, нет.

Вообще сумма а + b не зависит от выбора непересекающихся множеств А и В, таких, что n (А) = а, n (В) = в. Это общее утвержде­ние мы примем без доказательства.

Кроме того, сумма целых неотрицательных чисел всегда суще­ствует и единственна. Другими словами, какие бы два целых неотри­цательных числа а и b мы ни взяли, всегда можно найти их сум­му — целое неотрицательное число с, оно будет единственным для данных чисел а и в. Существование и единственность суммы вытекают из существования и единственности объединения двух мно­жеств.

Действие, при помощи которого находят сумму, называют сло­жением, а числа, которые складывают, называют слагаемыми.

Выше нами было дано определение суммы двух слагаемых. А как определить сумму нескольких слагаемых?

Пусть сумма двух слагаемых определена и определена сумма n слагаемых. Тогда сумма, состоящая из n+1 слагаемого, т. е. сумма a + a₂+... + а_n + а +1, равна (a +a₂+... +a_n)+a_n+1.

Например, чтобы найти сумму 2 + 7+15+19 согласно этому определению, надо выполнить следующие преобразования: 2 + 7+15+19 = (2 + 7+15)+19 = ((2 + 7)+15)+19 = = (9+ 15)+ 19 = 24+ 19 = 43.

В начальном курсе математики сложение целых неотрицатель­ных чисел вводится на основе практических упражнений, связанных с объединением двух множеств предметов (теоретико-множественная терминология и символика при этом не используются). Главным средством раскрытия теоретико-множественного смысла сложения является решение простых арифметических задач. Суть решения одной такой задачи проанализирована в начале пункта.

Простые задачи, которые находятся действием сложения:

1.Задача на нахождение суммы двух чисел.

У Маши было 5 карандашей, а у Юли- 3 карандаша. Сколько карандашей у девочек вместе?

2.На нахождение неизвестного уменьшаемого.

На столе лежало несколько яблок, когда 3 яблока взяли, то на столе осталось 4 яблока. Сколько яблок лежало на столе?

3.Увеличение числа на несколько единиц (прямая форма)

На столе 3 книги, а тетрадей на 2 больше. Сколько тетрадей на столе?

4. Увеличение числа на несколько единиц (косвенная форма)

На столе лежало 9 тетрадей, это на 3 меньше, чем книг. Сколько книг лежало на столе?

Упражнения:

1. Объясните, используя определение суммы целых неотрицатель­ных чисел, что:

1) 4+1=5; 2) 2 + 7 = 9; 3) 1+5 = 6; 4) 3 + 0 = 3.

2. Как вы понимаете утверждение: «Сумма целых неотрицатель­ных чисел существует и единственна»?