Вопрос 21. Произведение двух целых неотрицательных чисел. Законы умножения.

Понятие произведение целых неотрицательных чисел может быть определено по-разному. Рассмотрим сначала подход, в основе которого лежит понятие суммы.

Определение. Произведением целых неотрицательных чисел a и b называется такое целое неотрицательное число a · b, которое удовлетворяет следующими условиями:

1) a· b=a+a+…+a при b> 1;

Слагаемое b

2) a· 1=a при b=1;

3) a· 0=0 при b=0/

Теоретико- множественный смысл этого определения следующий. Если множества А1, А2, …, А b имеют по a элементов каждое и никакие два из них не пересекаются, то их объединение содержит a· b элементов. Следовательно, произведение a· b - это число элементов в объединении b попарно непересекающихся множеств, каждое из которых содержит по a элементов. Равенства a· 1=a и a· 0=0 принимаются по условию.

Действие, при помощи которого находят произведение чисел a и b, называют умножением; числа которые умножают, называют множителями.

Произведение любых целых неотрицательных чисел существует, и оно единственно.

С данным определением учащиеся знакомятся в нач. классах. Смысл его раскрывается при решении простых задач. Например: На каждое детское пальто нужно пришить 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно пришить на 6 таких пальто?

Почему она решается при помощи умножения? Потому что в ней требуется найти число элементов в объединении, состоящем из 6 множеств, в каждом из которых по 4 элемента. Согласно определению это число находится умножением: 4· 6= 24 (пуговицы).

Имеется и другое определение произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с декартовым произведением множеств.

Пусть даны два множества: A= (x, y, z) и В= (n, t, r, s).Найдём их декартово произведение, которое запишем в виде прямоугольной таблицы.

(X, n), (x, t), (x, r), (x, s),

(y, n), (y, t), (y, r), (y, s),

(Z, n), (z, t), (z, r), (z, s).

В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковую первую компоненту, а в каждом столбце одинаковая вторая компонента. При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой пары. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении A× B равно 3+3+3+3=12. Видим, что число элементов в декартовом произведении данных множеств A и B равно произведению n(A)∙ n(B)

Вообще если A и B- конечные множества, то n(A B)=n(A) n(B).

Таким образом, произведение целых неотрицательных чисел a и b можно рассматривать как число элементов декартова произведения множества A и B, где n(A)=a, n(B)=b:

a∙ b=n(A B), где n(A)=a, n (B)=b.

Закон умножения

Переместительный закон: для любых целых неотрицательных чисел a и b справедливо равенство a ∙ b=b∙ a.

Пусть a=n(B). Тогда по определению произведения a∙ b=n(A B). Но множества A× B и B A равномощны: каждой пареa, b из множества A× B можно поставить в соответствие единственную пару (b, a) из множества B× A, и наоборот. Значит, n(A× B)=n (B× A), ипоэтомуa∙ b=n(A× B)=n (B× A)=b∙ a.

Сочетательный закон: для любых целых неотрицательных чисел a, b, с справедливо равенство (a∙ b)∙ c=a∙ (b∙ c).

Распределительный закон умножения относительно сложения: для любых целых неотрицательных чиселa, b, с справедливо равенство (a+b)∙ c=ac∙ +bc.

Распределительный закон умножения относительно вычитания:: для любых целых неотрицательных чисел a, b и с и a≥ b справедливо равенство (a-b)c=ac-bc.