Правила дедуктивных рассуждений

1. Правило заключения: (А => В и А (а)) => В (а), где А => В - общая посылка,
А (а) — частная посылка, В (а) — заключение. _

2. Правило отрицания: (А => В и В(а)) => А(а).

3. Правило силлогизма: (А=> В и В=> С) => (А=> С). Применение этих правил
гарантирует, что рассуждение будет дедуктивным, т. е. позволяет из истинных посылок
выводить истинное заключение.

Покажем, как используются данные правила для проверки правильности рассуждения.

Задача. Являются ли следующие рассуждения дедуктивными:

1) Все числа, запись которых оканчивается нулем, делятся на 5; число не делится
на 5, следовательно, его запись не оканчивается нулем.

2) Если натуральное число кратно 8, то оно кратно 4; если натуральное число
кратно 4, то оно кратно 2; следовательно, если число кратно 8, то оно кратно 2.

3) Если запись числа оканчивается нулем, то оно делится на 5; число не
оканчивается нулем, следовательно, оно не делится на 5.

Решение. 1) Определим схему приведенного рассуждения. Сначала сформулируем общую посылку в виде условного предложения: «Если запись числа оканчивается нулем, то оно делится на 5». Затем обозначим буквой А предложение «Запись числа оканчивается нулем», а буквой В предложение «Число делится на 5^ Тогда общая посылка примет вид А=> В, частная — это В, а заключение — А, т. е. имеем рассуждение по схеме:

(А => В и В) => А.

Это правило отрицания, гарантирующее истинность заключения. Следовательно, данное рассуждение дедуктивное.

2) Если обозначить через А предложение «Натуральное число кратно 8», через В предложение «Натуральное число кратно 4», через С предложение «Натуральное ч.юло кратно 2», то схема данного рассуждения примет вид:

(А=> В и В=> С) => (А=> С).

Такая схема — это правило силлогизма — гарантирует при истинности посылок истинность заключения. Значит, данное рассуждение дедуктивное.

3) Обозначим буквой А предложение «Запись числа оканчивается нулем», буквой В предложение «Число делится на 5», Тогда схема данного рассуждения будет иметь вид (А=> В и А)=> В. Она приводит к ложному выводу: например, число 15 не оканчи­вается нулем, но оно делится на 5. Вообще эта схема рассуждения не гарантирует истинности заключения — она может привести как к истинному, так и к ложному заключению.

Рассуждение по схеме, приводящей в одном случае к истинному заключению, а в другом — к ложному, считают недедуктивным. Следовательно, данное рассуждение недедуктивное.

Целесообразно запомнить две схемы недедуктивных рассуждений:

\) (А=> В и В)=> А; 2) (А=> В и А) => В".

Эти схемы не гарантируют истинности заключения при истинности посылок.

Заметим, что полное дедуктивное рассуждение по приведенным схемам требует указания двух посылок. Однако в процессе рассуждений эти схемы иногда сокращают, опуская, например, общую посылку.

В математике давно заметили, что использование схем, не гарантирующих истинность заключения, а также невыполнение условий применимости теорем и формул, применение ошибочного чертежа приводят к неверному выводу, ложному заключению. И математики стали придумывать умышленно неправильные рассуж­дения, но имеющие видимость правильного. Такие рассуждения получили названия софизмов.

Разбор софизмов не только формирует умение правильно рассуждать, но и помогает усваивать многие математические факты.

Рассмотрим пример софизма.

Докажем, что 5=1.

Из чисел 5 и 1 вычтем одно и то же число 3. Получим 5 — 3=2, 1—3 =-2. Возведем числа 2 и -2 в квадрат. Результатом этого явятся равные числа: 2" = 4, (-2)" = 4. Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. Итак, 5=1.

Ясно, что заключение в проведенном рассуждении ложно. Но где допущена ошибка?

Проанализируем проведенное рассуждение. Оно состоит из трех шагов, причем воспроизведенных в сокращенном виде. Мы же восстановим обе посылки каждого шага.

1-й шаг (вычитание из 5 и 1 целого числа 3).

Общая посылка: «Разность любых целых чисел существует».

Частная посылка: «Числа 5, 1 и 3 целые».

Заключение: «Разность 5-3, 1-3 существует, и 5 - 3 = 2, 1-3=-2».

Так как рассуждение велось по правилу заключения, то при истинных посылках мы получили истинное заключение. Поэтому ошибок на этом шаге нет.

2-й шаг (возведение чисел 2 и -2 в квадрат).

Общая посылка: «Квадраты любых целых чисел всегда существуют и являются неотрицательными числами».

Частная посылка: «Числа 2 и -2 целые».

Заключение: «Квадраты чисел 2 и -2 существуют, причем 2=4, (-2)" = 4».

Рассуждение здесь также велось по правилу заключения, получили истинный вывод. Поэтому ошибок на этом шаге не допущено