Дедуктивные рассуждения. Правила дедуктивных рассуждений.

Доказать теорему А => В — это значит установить логическим путем, что всегда, когда выполняется свойство А, будет выполняться и свойство В.

Доказательство в математике обладает рядом особенностей. В частности, оно проводится по правилам логики без каких-либо ссылок на наглядность и опыт.

В основе доказательства лежит рассуждение — логическая операция, в результате которой из одного или нескольких взаимосвязанных по смыслу предложений получается предложение содержащее новое (по отношению к исходным) знание.

В качестве примера рассмотрим рассуждение первоклассника, которому надо установить отношение «меньше» между числами 7 и 8. Учащийся говорит: «7< 8, потому что 7 при счете называют раньше, чем 8».

Выясним, на какие факты опирается вывод, полученный в этом рассуждении. Таких фактов два:

1. Если число а при счете называют раньше числа Ь, то а < b (для любых
натуральных чисел а и Ь).

2. 7 при счете называют раньше, чем 8.

Первое предложение носит общий характер, так как содержит квантор общности, подчеркивающий, что предложение имеет место для любых натуральных чисел а и b его называют общей посылкой.

Второе предложение касается конкретных чисел 7 и 8, отражает частный случай, его называют частной посылкой.

Из двух посылок и выведен новый факт (7 < 8), его называют заключением.

Вообще в любом рассуждении есть посылки и есть заключение. Между посылками и заключением существует определенная связь, благодаря которой они и составляют рассуждение.

Рассуждение, между посылками и заключением которого имеет место отношение следования, называют дедуктивным.

Другими словами, рассуждение дедуктивно, если с его помощью из истинных посылок нельзя получить ложное заключение. В противном случае рассуждение считается недедуктивным.

Каковы же те условия, при которых рассуждение будет дедуктивным?

Обратимся к примерам.

Пример 1. Дано рассуждение, в котором:

общая посылка: «Если натуральное число кратно 4, то оно кратно 2»;

частная посылка: «Число 12 кратно 4»;

заключение: «Число 12 кратно 2».

В этом рассуждении и посылки, и заключение истинны. Можно предположить, что оно дедуктивное.

Пример 2. Дано рассуждение, в котором:

общая посылка: «Если натуральное число кратно 4, то оно кратно 2»;

частная посылка: «Число 126 кратно 2»;

заключение: «Число 126 кратно 4».

В данном рассуждении посылки истинны, а заключение ложно — число 126 на 4 не делится. Значит, это рассуждение не является дедуктивным, и, следовательно, истинность посылок не единственное условие, обеспечивающее дедуктивность рассуждения. Что же еще важно для получения истинного заключения? Сравним проведенные рассуждения. Для этого представим их в символической форме. Если обозначить через А предложение «Натуральное число х кратно 4», а через В —

предложение «Натуральное число кратно 2», то общая посылка в обоих рассуждениях будет иметь вид А => В. Вторая посылка в примере 1 частная, она получается, если в предложение А вместо х подставить 12. Обозначим ее А(12). Тогда заключение в первом рассуждении можно обозначить В(12). Для другого примера: вторая посылка имеет вид В(126), а заключение А(126).

В соответствии с введенными обозначениями данные рассуждения можно представить в таком виде:

Пример 1 Пример 2

I посылка: А => В А => В

II посылка: А (12) В (126)
Заключение: В (12) А (126)

В первом примере рассуждение проводилось по схеме (А=> В и А (12)) => В(12), а во втором: (А=> В и В(126)) => А(126). Как видно, схемы рассуждений различны. Схема, которую использовали в первом случае, привела к истинному заключению, а вторая схема рассуждения — к ложному.

Рассмотренные примеры позволяют утверждать, что истинность посылок не всегда гарантирует истинность заключения.