Раздел 2. Кинематика

Задача 1. По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t=0, 5с, найти положение точки на траектории, ее скорость, касательное, нормальное и полное ускорения, а также радиус кривизны траектории (рис. 1):

Рис. 1

, (2.5)

где х и у в сантиметрах, t – в секундах.

Решение. Параметрическим представлением траектории является сам закон движения. Уравнение траектории в координатной форме получаем, исключая из закона движения время:

.

Получили , то есть траекторией точки является парабола. Для построения траектории рассчитаем по уравнениям координаты точек параболы, отвечающие нескольким моментам времени. Результаты расчетов приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Траектория построена на рис. 2.24, на ней стрелкой показано направление движения точки из начального положения при с координатами .

Дифференцируя (2.5) по времени, находим проекции скорости точки на оси координат х, у:

. (2.6)

При .

По найденным проекциям определяем модуль скорости

.

Дифференцируя (2.6), находим проекции вектора ускорения

.

При .

По найденным проекциям определяем модуль ускорения

.

Определение касательного ускорения при

.

Определение нормального ускорения при

.

Определение радиуса кривизны при

.

Результаты вычислений для заданного момента времени приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

На рис. 1 показано положение точки М в заданный момент времени.

Векторы скорости и ускорения точки М построены в масштабе по их проекциям на оси координат: , там же показаны касательное и нормальное ускорения. Совпадение величин и , найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит контролем правильности решения.

Радиус кривизны проведен в сторону вогнутости траектории перпендикулярно к вектору скорости – по направлению .

Задача 2. Лебедка (рис. 2), поднимающая груз по наклонной плоскости, состоит из двух валов 1 л 2 с шестернями (зубчатыми колесами), числа зубьев которых равны соот­ветственно z ₁ = 12 и z ₂= 48. К валу 2 прикреплен барабан радиусом r= 0, 3 м, на который наматывается грузовой трос. Вал 1 вращается равноускоренно с угловым ускоре­нием ε ₁ = 8 с ^–2. Определить скорость, ускорение и переме­щение груза, а также ускорение точки В барабана в мо­мент времени t = 1 с. В начальный момент времени систе­ма находилась в покое.

Рис. 2

Решение. Найдем угловую скорость ω ₁ ведущего вала 1 из условия, что оно вращается с угловым ускорени­ем ε ₁ = const, учитывая, что . Интегрируя послед­нее уравнение по времени, получаем .

Постоянную интегрирования получаем из начального условия: при t = 0 ω ₁ = 0 (система находилась в покое), следовательно C ₁ = 0.

Итак, угловая скорость вала 1 определяется уравнени­ем .

При t = 1 с получаем .

Шестерни 1 и 2 взаимодействуют без проскальзыва­ния. Поэтому скорости точек их касания (точка А) будут одинаковы: .

Отсюда находим угловую скорость ω ₂ вала 2, учитывая, что :

.

Угловое ускорение вала 2 равно .

Поскольку трос нерастяжим и относительно барабана не проскальзывает, то скорость груза v будет равна скоро­сти любой из точек на ободе барабана, в частности, скоро­сти точки В: v = v_B = ω ₂ r = 0, 6 t =|_{t=1 c} =0, 6 м/с.

Ускорение точки В равно векторной сумме касатель­ного (вращательного) и нормального (центростремитель­ного) ускорений: .

Направление вращательного ускорения определяется направлением углового ускорения ε ₂, а его модуль равен м / с ². Центростремительное ускорение на­правлено к оси вращения вала 2 и равно по модулю м / с ².

Модуль ускорения точки В

м / с ².

Ускорение груза можно найти, взяв производную по времени от его скорости, так как это касательное ускоре­ние: м / с ².

Перемещение груза определяется интегрированием модуля скорости по времени:

м.

Ответ: v = 0, 6 м/с; а = 0, 6 м/с ²; s = 0, 3 м; а_B = = 1, 34 м / с ².

Задача 3. Кривошип OA длиной 0, 2 м вращается рав­номерно с угловой скоростью ω _OA = 10 с^–1 и при­водит в движение шатун АВ длиной 1 м. Пол­зун В движется по вертикали. Найти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также скорость и ускорение ползуна в момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и образуют с вертикалью угол 45° (рис. 3).

Решение.

1. Определение скоростей. Вычис­лим скорость точки А как точки вра­щающегося кривошипа:

.

Она направлена перпендикулярно ОА (рис. 4).

Рис. 3

Скорость v_B ползуна направлена по направляющей вертикально.

Для шатуна АВ, совершающего плоское движение, теперь известны направления скоростей двух его то­чек: А и В. Восставляя перпендику­ляры к векторам этих скоростей, на­ходим точку Р их пересечения — МЦС шатуна.

Используя известную формулу для скоростей точек при плоском движении, получаем ; .

Рис. 4 Рис. 5

Из треугольника АВР имеем | АР | = 1 м; | ВР | = м, и тогда

.

2. Определение ускорений. Вычислим сначала ускоре­ние точки А как точки кривошипа: .

Здесь вращательное ускорение , так как , поскольку .

Тогда полное ускорение точки А равно центростремительному

и направлено к оси вращения — точке О (рис. 5).

Для вычисления ускорения точки В воспользуемся тео­ремой о сложении ускорений, взяв точку А в качестве полюса:

. (*)

Центростремительное ускорение точки В в относи­тельном вращении вокруг точки А по модулю равно , и направлено от точки В к полю­су — точке А.

Модуль вращательного ускорения определяется по формуле и пока не может быть вычислен, поскольку неизвестна величина углового ускорения . Направление вектора также не может быть определе­но однозначно, так как неизвестно направление углового ускорения, т. е. неизвестно, ускоренным или замедлен­ным является поворот шатуна. Примем пока этот поворот ускоренным, тогда направление совпадет с направле­нием , а вектор направим перпендикулярно от­резку ВА по ходу углового ускорения.

Вектор ускорения точки В направлен по вертикальной прямолинейной направляющей. Будем пока считать дви­жение ползуна ускоренным и направим ускорение в ту же сторону, что и скорость (рис. 4, 5).

Теперь в равенстве (*) все ускорения имеют определен­ное направление, и мы можем записать это уравнение в проекциях на выбранные оси:

.

Из последнего уравнения получаем , тогда из первого уравнения

.

Отсюда следует, что

.

Отрицательные знаки у величин и показывают, что их истинные направления противоположны принятым.

Задача 4. Тело D вращается в плоскости рисунка (рис. 6) во­круг оси Ох так, что его угол поворота равен

рад.

Рис. 6 Рис. 7

По желобу тела ОА движется точка М так, что алгеб­раическое значение длины дуги равно

ОМ = s = (25 π t ² – 5 π t) см.

Желоб является окружностью радиусом R = 20 см, расстояние | OA | = b = 10 см. Для момента времени t = 1 с определить абсолютную скорость и абсолютное ускоре­ние точки М.

Решение.

1. Определение . По теореме о сложении скоростей имеем .

Относительную скорость точки (скорость по отноше­нию к телу D) находим, вычисляя ее алгебраическое значение как производную от дуговой координаты по време­ни: и .

Чтобы найти ее направление, установим, где находится точка М. При t = 1 с, получив ОМ = 20 π см, устанавлива­ем, что длина дуги составляет половину длины окружно­сти, то есть точка М находится в точке А желоба (рис. 7).

Скорость точки направляем по касательной к ее траектории (окружности) в сторону увеличения длины дуги, так как алгебраическое значение скорости положительно.

Переносной скоростью по определению будет скорость той точки вращающегося тела D, с которой совпадает точ­ка М, то есть скорость точки А:

,

где алгебраическое значение угловой скорости переносного движения равно

.

Таким образом, при t = 1 с получаем и v_e = 0, 40 м/с. Алгебраическое значение угловой скорости положительно, следовательно, вращение происходит по направлению угла поворота. Переносная скорость направ­лена перпендикулярно отрезку О ₁ А по ходу вращения.

Поскольку векторы и направлены противополож­но, то модуль абсолютной скорости равен v_a = v_r – v_e ≈ 1, 01 м/с.

2. Определение . По теореме Кориолиса или

. (*)

Вычислим и покажем на рисунке все пять ускорений (рис. 8).

Относительное касательное ускорение вычисляем через его алгебраическое значение: см / с ²≈ 1, 57 м / с ².

Ускорение направлено туда же, куда и скорость , так как знаки их алгебраиче­ских значений совпадают (ус­коренное движение): . Относительное нормаль­ное ускорение направлено к центру желоба и равно

м / с ².

Рис. 8

Переносное ускорение в данном случае — это ускоре­ние точки А тела D.

Так как алгебраическое значение углового ускорения равно его модулю

,

то переносное вращательное ускорение получается

м / с ².

Оно направлено перпендикулярно О ₁ A по ходу углово­го ускорения, и поскольку алгебраические значения угло­вой скорости и углового ускорения совпадают по знаку (ускоренное вращение), следовательно, совпадает с .

Переносное центростремительное ускорение направле­но к оси О ₁ и равно

м / с ².

Кориолисово ускорение , и его модуль равен

.

Так как вектор угловой скорости тела лежит на оси вращения, то в данном случае он перпендикулярен плоско­сти чертежа и угол между ним и вектором относительной скорости равен 90°. Тогда .

Направление кориолисова ускорения может быть най­дено или по общему правилу для векторного произведе­ния, или по специальному правилу Жуковского. В нашем случае достаточно повернуть скорость на 90° по ходу вращения тела.

Сложение векторов произведем с помощью проекций. Спроектировав равенство (*) на оси, получим

и окончательно

.