Умножение матрицы на число.

Умножение матрицы A на число λ заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен: b_ij = λ a_ij.

Сложение матриц

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: cij = aij + bij.

Умножение матриц.

Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения AxB) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго:

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность mxn, B — nxk, то размерность их произведения AB = C есть mxk.

Транспонирование.

Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. A = (aij), то A^T = (aji).

Симметричной матрицей называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Это означает, что она равна её транспонированной матрице.

Ранг матрицы

Количество линейно независимых строк матрицы называют строчным рангом матрицы, а количество линейно независимых столбцов матрицы называют столбцовым рангом матрицы. В действительности, оба ранга совпадают. Их общее значение и называется рангом матрицы.

Другой эквивалентный данному подход заключается в определении ранга матрицы, как максимального порядка отличного от нуля минора матрицы.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Обра́ тная ма́ трица — такая матрица A^-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

A*A^-1 = A^-1*A = E.

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

C* - матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы.

МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ:

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть: A + 0 = A

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.

Коммутативность сложения: A + B = B + A.

Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

A(B + C) = AB + AC.

(B + C)A = BA + CA.

Свойства операции транспонирования матриц:

(A^T)^T = A

(AB)^T = B^TA^T

(A ^{− 1})^T = (A^T) ^{− 1}, если обратная матрица A ^{- 1} существует.

(A + B)^T = A^T + B^T

detA = detA^T .

Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующих трёх типов:

Перестановка двух строк или столбцов матрицы;

Умножение строки или столбца на число отличное от нуля;

Прибавление к одной строке или столбцу матрицы другой её строки или столбца, умноженной на любое число!

Минором элемента матрицы называется определитель матрицы, полученной вычеркиванием строки и столбца, в которых расположен элемент. Обозначаем: минор элемента

a_ij = .

Следствие: Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ:

Свойство 1. При замене строк столбцами (транспонировании) значение определителя не изменится, т.е.

.

Свойство 2. Если хотя бы один ряд (строка или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Свойство 3. Если в определителе поменять местами два соседних параллельных ряда (строки или столбцы), то определитель поменяет знак на противоположный, т.е.

.

Свойство 4. Если в определителе имеются два одинаковых параллельных ряда, то определитель равен нулю:

Свойство 5. Если в определителе два параллельных ряда пропорциональны, то определитель равен нулю:

Свойство 6. Если все элементы определителя, стоящие в одном ряду, умножить на одно и то же число, то значение определителя изменится в это число раз:

.

Следствие. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда, можно вынести за знак определителя, например:

.

Свойство 7. Если в определителе все элементы одного ряда представлены в виде суммы двух слагаемых, то он равен сумме двух определителей:

.

Свойство 8. Если к элементам какого-либо ряда прибавить произведение соответствующих элементов параллельного ряда на постоянный множитель, то значение определителя не изменится:

.

Свойство 9. Если к элементам i-го ряда прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов нескольких параллельных рядов, то значение определителя не изменится:

.

Следствие. Определитель единичной матрицы равен единице .

Система m линейных уравнений с n неизвестными в линейной алгебре — это система уравнений вида:

Здесь x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы — совокупность n чисел c_1, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему обращает все её уравнения в тождества.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида может иметь одно или более решений.

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

Если к матрице А приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

15)

Определи́ тель (или детермина́ нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ (A).

Определение через разложение по первой строке

Схема расчета определителя матрицы .

Для матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

Для матрицы детерминант определяется как

Для матрицы определитель задаётся рекурсивно:

, где — дополнительный минор к элементу a _{1 j} . Эта формула называется разложением по строке.

В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:

= a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃ − a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂ − a ₁₂ a ₂₁ a ₃₃ + a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁ + a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂ − a ₁₃ a ₂₂ a ₃₁

Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):

Определение через перестановки

Для матрицы справедлива формула:

,

где α ₁, α ₂,..., α _n — перестановка чисел от 1 до n, N (α ₁, α ₂,..., α _n) — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n. Таким образом, в определитель войдёт n! слагаемых, которые также называют «членами определителя». Важно заметить, что во многих курсах линейной алгебры это определение даётся как основное.

Свойства определителей

§ Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где и т. д. — строчки матрицы, — определитель такой матрицы.

§ При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

§ Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

§ Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

§ Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

§ Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

§ Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

§ Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

§ Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

§ Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).

§ С использованием индексной нотации определитель матрицы 3× 3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:

16)

Теорема Лапласа

Определение. Выделим в det A строки с номерами α 1 <... < α k и столбцы

с номерами β 1 <... < β k. Элементы aα jβ ℓ, стоящие в этих строках и

столбцах, образуют определитель k -го порядка:

M = A _ α 1 ... α k

β 1 ... β k _ def =______

aα 1 β 1 ... aα 1 β k

......

aα kβ 1 ... aα kβ k

______

Он называется минором k -го порядка определителя det A. Если же из

определителя det A вычеркиваются строки и столбцы с указанными номе-

рами, то получившийся определитель (n − k)-го порядка

A _ α k +1 ... α n

β k +1 ... β n _ здесь {α k +1 <... < α n} ⊂ { 1, 2 ,..., n} \ {α 1 ,... α k}

{β k +1 <... < β n} ⊂ { 1, 2 ,..., n} \ {β 1 ,... β k}

называется минором, дополнительным минору M в det A. Число

_ M def = (− 1) α 1+ ... + α k + β 1+ ... + β kA _ α k +1 ... α n

β k +1 ... β n _

называется алгебраическим дополнением минора M в det A.

Теорема 7.1 (Лаплас). Выделим в det A произвольные строки с номерами

α 1 <... < α k. Образуем всевозможные миноры k-го порядка с элементами

из этих строк:

A _ α 1 ... α k

β 1 ... β k _, здесь {β 1 <... < β k} ⊂ { 1, 2 ,..., n}.

Домножим эти миноры на их алгебраические дополнения в det A. Тогда ве-

личина det A равна сумме таких произведений по всем возможным выборкам

k элементов (β 1 ,..., β k) из { 1, 2 ,..., n}:

det A =

= _ 1 ≤ β 1 <...< β k≤ n

A _ α 1 ... α k

β 1 ... β k _ A _ α k +1 ... α n

β k +1 ... β n _(− 1)_ α 1+ ... + α k +

+ β 1+ ... + β k _.