Главная страница
Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Корни многочлена.
Расмотрим многочлен:
, где a1, a2,..., an − целые числа, an ≠ 0.
Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень , то число p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).
Доказательство:
Действительно, если число является корнем многочлена , то . А именно: . Умножим обе части этого уравнения
на , получим: . Так как
- целые числа, то в скобке стоит целое число. Значит, вся правая часть этого равенства делится на q, так как q входит в неё в качестве сомножителя. А значит и левая часть тождества делится на q, так как она равна правой. Число p не делится на q, так как иначе дробь была бы сократимой, значит и не делится на q. Следовательно, на q делится единственный из оставшихся сомножителей левой части, а именно . Теорема доказана!
|