![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Свойства
[править]Геометрические свойства векторного произведения Рисунок 1: Площадь параллелограмма равна векторному произведению. Рисунок 2: Объём параллелепипеда при использовании векторного и скалярного произведения векторов; пунктирные линии показывают проекции вектора c на a × b и вектора a на b × c, первым шагом является нахождение скалярных произведений. § Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения. § Модуль векторного произведения § Если § Если § При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным. На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами: Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0, если векторы параллельны. [править]Алгебраические свойства векторного произведения
Условия параллельности и перпендикулярности векторов 3) 1.16. Смешанное произведение векторов и его свойства
Смешанным произведением векторов
Геометрические свойства смешанного произведения
1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов
2. Смешанное произведение
Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение:, где
Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла Докажем второе свойство. Равенство возможно в трех случаях:
Алгебраические свойства смешанного произведения 1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:
При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:
2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.
Первое свойство следует из геометрического свойства 1 и свойств ориентации троек векторов (см. разд. 1.9), поскольку от перестановки двух множителей модуль смешанного произведения не изменяется, а меняется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки не изменяется.
Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и свойства 1. Пример 1.21. Объем параллелепипеда, построенного на векторах
Решение. Используя алгебраические и геометрические свойства, найдем смешанное произведение а затем его модуль Теорема 1.9 (формула вычисления смешанного произведения). Если векторы
В самом деле, учитывая (1.10) и (1.15), по определению находим:
что и требовалось доказать. 4)
|