![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Скалярное произведениеСтр 1 из 29Следующая ⇒
[править] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Скаля́ рное произведе́ ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины данного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю. Обычно используется одно из следующих обозначений:
или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):
Обычно предполагается что скалярное произведение положительно определено, то есть
Если этого не предполагать, то произведение называется индефинитным.
Определение Скалярным произведением в векторном пространстве для любых трех элементов для любых для любого Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.
[править]Элементарное определение A • B = | A | | B | cos(θ) Элементарное определение скалярного произведения используется, когда определения длины вектора и угла между векторами введены независимым образом до введения понятия скалярного произведения (как правило, так и поступают при изложении элементарной геометрии). В этом случае скалярное произведение определяется через длины сомножителей и угол между ними: Современная аксиоматика обычно строится начиная со скалярного произведения, и тогда длина вектора и угол определяются уже через скалярное произведение (см. ниже). [править]Связанные определения В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия: Длина вектора, под которой понимается уже упомянутая выше его евклидова норма: Углом между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм): Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве. Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством. При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым, а комплексное — эрмитовым или унитарным пространством. Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой. Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского). Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна. [править]Примеры В трёхмерном вещественном векторном пространстве векторов В любом евклидовом пространстве (размерности n) всегда можно выбрать[1] ортонормированный базис при разложении векторов по которому:
скалярное произведение будет выражаться приведенной выше формулой:
В таком же, но комплексном, пространстве, скалярное произведение вводится по несколько другой формуле: В пространстве измеримых интегрируемых с квадратами на некоторой области Ω вещественных функций можно ввести положительно определённое скалярное произведение: В аналогичном случае для комплексных функций, если требуется эрмитовость (и положительная определённость) скалярного произведения, надо добавить комплексное сопряжение к f или g под интегралом. При использовании неортонормированных базисов скалярное произведение выражается через компоненты векторов с участием метрического тензора gij: при этом сама метрика (говоря точнее, ее представление в данном базисе) так связана со скалярными произведениями базисных векторов
(метрика в ортонормированных базисах тривиальна, то есть представлена единичной матрицей gij = δ ij) Аналогичные конструкции скалярного произведения можно вводить и на бесконечномерных пространствах, например, на пространствах функций: где К — положительно определённая, в первом случае симметричная относительно перестановки аргументов (при комплексных x — эрмитова) функция (если нужно иметь обычное симметричное положительно определённое скалярное произведение). [править]Неравенство Коши — Буняковского Для любых элементов [править]Применение Использование скалярного произведения крайне широко, как в элементарных, так и в весьма абстрактных областях математики, физики и прикладных наук. Широко известны следующие применения: Любые геометрические вычисления (как собственно в математике, так и в приложениях), связанные с длинами, углами, проецированием, ортогональностью. Например, теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения: Угол между векторами: Оценка угла между векторами: в формуле Проекция вектора
условие ортогональности[2] (перпендикулярности) векторов итд. (При этом технические возможности вычислений со скалярными произведениями, как и вообще с векторами, значительно возрастают, если использовать — при желании или необходимости — и компонентное представление векторов вкупе с компонентным выражением скалярного произведения). Площадь также выражается через скалярное произведение, например, двумерная площадь параллелограмма, натянутого на два вектора Аналогичные вычисления в геометризованных теориях в физике (таких, как СТО или ОТО). Разложение векторов по базису и переход к новому базису, являющееся основой многих разделов математики и ключевым приемом эффективного решения практических геометрических задач или практических задач, формулируемых на языке линейной алгебры (относящихся, например, к статистике). В том числе, в бесконечномерном случае: ряды Фурье, преобразования Фурье. В векторном анализе — вычисление контурных интегралов, потоков, применение с оператором набла. [править]Обобщения Простейшим обобщением конечномерного скалярного произведения в тензорной алгебре является свёртка по повторяющимся индексам. Аналогичное обобщение в принципе нетрудно сделать и в бесконечномерном случае (Для бесконечномерных пространств функций — см. примеры (выше)). [править]Примечания ↑ Ортонормированность базиса определяется условием заключающемся в равенстве нулю скалярных произведений разных базисных векторов, например, первого и второго, первого и третьего, итд (ортогональность), и равенстве единице — скалярного произведения каждого базисного вектора с самим собой (нормированность). Упоминаемые в основном тексте формулы получаются прямым перемножением векторов, разложенных по такому базису, учитывая свойства скалярного произведения, особенно его билинейность, позволяющую раскрывать скобки итп как при вычислениях с обычными числами. ↑ В абстрактной формулировке названное условие
|