Форми подання інформації в ЕОМ

Арифметичні основи цифрової техніки

План

1 Форми подання дискретної інформації

2 Системи числення

3 Вибір системи числення

4 Переведення чисел з однієї системи числення в іншу

5 Виконання арифметичних операцій над двійковими числами

1 Для рішення завдань за допомогою ЕОМ необхідно за допомогою програми задати алгоритм рішення того або іншого завдання й увести в неї вихідні дані.

Однак ЕОМ не розуміє не тільки природної мови, але й алгоритмічного. Для розшифровки тексту програми в машині повинна перебувати спеціальна програма - транслятор (від англ. translate - перекладати), що перекладає текст вихідної програми на мову ЕОМ.

Обчислювальна машина - це технічний пристрій, у якому інформація про вихідні дані розв'язуваного завдання, правилах її рішення (алгоритмі) і результатах обчислень повинна задаватися у вигляді зміни яких-небудь фізичних величин. Наприклад, напруги постійного струму електричних сигналів. Ці сигнали легко перетворювати за допомогою різних напівпровідникових схем.

При використанні в якості носія інформації напруги постійного струму можливі дві форми подання чисельного значення який-небудь змінної, наприклад, X:

у вигляді одного сигналу - напруги постійного струму, що порівнянний з величиною X (аналогічно їй). Наприклад, при X=1845 на вхід обчислювального пристрою можна подати напругу 1, 845 В;

у вигляді декількох сигналів - декількох напруг постійного струму, які порівнянні з числом X.

Перша форма подання інформації називається аналоговою або безперервною. Кількість значень, які може приймати така величина, нескінченно велика. Звідси назва - безперервна величина й безперервна інформація.

Друга форма подання інформації називається цифровою або дискретною (за допомогою набору напруг, кожне з яких відповідає одній з цифр представленої величини). Такі величини, що приймають не всі можливі, а лише цілком певні значення, називаються дискретними (переривчастими). На відміну від безперервної величини кількість значень дискретної величини завжди буде кінцевим.

Через складність технічної реалізації пристроїв для логічних операцій з безперервними сигналами, тривалого зберігання таких сигналів, їхнього точного виміру подібна форма подання в основному використовується в аналогових обчислювальних машинах (ABM). Ці машини призначені для рішення завдань, описуваних системами диференціальних рівнянь: дослідження поводження рухливих об'єктів (машин, роботів, судів, літальних апаратів і т.п.); моделювання ядерних реакторів, гідротехнічних споруджень, газових мереж, електромагнітних полів і біологічних систем; рішення завдань параметричної оптимізації й оптимального керування; керування процесами переробки нафти й виплавки сталі. Але ABM не можуть вирішувати завдання, зв'язані c зберіганням й обробкою більших обсягів інформації, які легко вирішуються при використанні цифрової (дискретної) форми подання інформації, реалізованої цифровими електронними обчислювальними машинами (ЕОМ).

Створюють також і гібридні обчислювальні системи (ГВС), які з'єднують у собі достоїнства як аналогових, так і цифрових обчислювальних машин.

2 Система числення - сукупність прийомів і правил зображення чисел цифровими знаками. Системи числення діляться на непозиційні й позиційні.

Непозиційна система числення - система, у якій значення символу не залежить від його положення в числі. Непозиційні системи числення виникли раніше позиційних систем. Прикладом непозиційної системи числення, що дійшла до наших днів, служить римська система числення. Основний недолік непозиційних систем - велика кількість різних знаків і складність виконання арифметичних операцій.

Позиційна система числення - система, у якій значення символу залежить від його місця (позиції) у ряді цифр, що зображують число. Наприклад, у числі 7382 перша цифра означає кількість тисяч, друга - кількість сотень, третя - кількість десятків і четверта - кількість одиниць. Позиційні системи числення більш зручні для обчислювальних операцій, тому вони й одержали найбільше поширення. Позиційна система числення характеризується основою.

Основа (базис) позиційної системи числення - кількість знаків або символів, використовуваних для зображення числа в розрядах даної системи числення.

Для позиційної системи числення із загальною основою справедлива рівність:

Х (q) = a_n qⁿ + a_n-1 q^n-1 +... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 +... + a_-m q^-m;

Х (q) =

де q - основа позиційної системи числення - ціле позитивне число; X (q) - довільне число, записане в системі числення з основою q; а_і - коефіцієнт ряду (цифри системи числення); n, m - кількість цілих і дробових розрядів.

На практиці використовують скорочений запис чисел, тобто X (q) = а_nа_{n -1}...... a ₁ a ₀ a _-1... a_-m.

Можлива безліч позиційних систем, тому що за основу можна прийняти будь-яке ціле число.

У десятеричній системі числення основа q =10. Наприклад, послідовність цифр 4627, 31, що зображує число в десятеричній системі числення, являє собою скорочений запис вираження 4× 10³ + 6× 10² + 2× 10¹ + 7× 10⁰ + 3× 10^-1 + 1× 10^-2.

У двійковій системі числення для запису чисел використовуються дві цифри: 0 й 1. Основа системи q = 2 записується як 10 = 1× 2¹ + 0× 2⁰. У двійковій системі числення будь-яке число може бути представлено послідовністю двійкових цифр. Цей запис відповідає сумі ступенів цифри 2, узятих із зазначеними в ній коефіцієнтами Х = a_m × 2 ^m + a_{m -1}× 2 ^{m -1} +... + a ₁× 2¹ + a ₀× 2⁰ + a _-1× 2^-1 + + a _-2× 2^-2+.... Наприклад, двійкове число (10101101, 101)₂ = l× 2⁷ + 0× 2⁶ + 1× 2⁵ + 0× 2⁴ + l× 2³ + l× 2² + 0× 2¹ + 1× 2⁰ + l * 2^-1 + 0× 2^-2 + l× 2^-3=173, 625₁₀.

Для запису чисел у трійковій системі числення використовують цифри 0, 1, 2. Наприклад, 2122₃ = 2× 3³+1× 3² + 2× 3¹ + 2× 3⁰. В обчислювальній техніці найбільше поширення одержали двійкові, восьмеричні й шістнадцятеричні системи числення відповідно з основами q 2, 8 й 16.

У системі числення з q = 8 використовують цифри від 0 до 7. У системі числення з q = 16 звичайно застосовують наступні цифри й букви: 0 - 9, А, В, C, D, E, F. Тут А, В, C, D, E, F позначають відповідно цифри 10, 11, 12, 13, 14, 15. Наприклад, число 159₁₀ у системах числення з q =8 та q =16 буде мати вигляд 159₁₀ = 237₈=2× 8² + 3× 8¹ + 7× 8⁰; 159₁₀ = 9× 16¹ + 15× 16⁰.

3 Від того, яка система числення буде використана в ЕОМ, залежать швидкість обчислень, ємність пам'яті, складність алгоритмів виконання арифметичних операцій. При виборі системи числення для ЕОМ ураховується залежність довжини числа й кількості стійких станів функціональних елементів (для зображення цифр) від основи системи числення.

Наприклад, при десятеричній системі числення функціональний елемент повинен мати десять стійких станів, а при двійковій системі числення - два. Крім того, система числення повинна мати простоту виконання арифметичних і логічних операцій.

Десятерична система числення, звична для нас у повсякденному житті, не є найкращою системою числення для використання в ЕОМ. Це пояснюється тим, що відомі в цей час функціональні елементи з десятьма стійкими станами (елементи на основі сегнетокераміки, декатрони й ін.) мають низьку швидкість перемикання й, таким чином, не можуть задовольняти вимогам, пропонованим до ЕОМ по швидкодії. Тому в переважній більшості випадків в ЕОМ використовують двійкові або двійково-кодовані системи числення.

Широке поширення цих систем обумовлене тим, що елементи ЕОМ здатні перебувати лише в одному із двох стійких станів. Наприклад, напівпровідниковий транзистор у режимі перемикання може бути у відкритому або закритому стані, а отже, мати на виході високу або низьку напруга. Такі елементи прийнятий називати двопозиційними. Якщо одне зі стійких положень елемента прийняти за 0, а інше - за 1, то досить просто зображуються розряди двійкового числа.

Арифметичні операції над двійковими числами відрізняються простотою й легкістю технічного виконання.

З точки зору витрат устаткування на створення ЕОМ двійкова система числення уступає тільки трійковій системі числення. Поряд з двійковою системою числення в ЕОМ одержали поширення й двійково-кодовані системи числення.

У двійково-кодованих системах числення, що мають основи q, відмінні від 2 (q > 2), кожна цифра числа представляється у двійковій системі числення.

Домашнє завдання:

[5] с. 5-7.

[6] с.45-48.

4 Як було відзначено, крім двійкової системи числення в ЕОМ використають восьмеричну, шістнадцятеричну й десятеричну двійково-кодовану системи числення.

Восьмерична система числення застосовується як допоміжна система при підготовці завдання до рішення (при програмуванні). Зручність її використання полягає в тому, що восьмеричний запис числа в три рази коротше двійкової, а переклад з восьмеричної системи числення у двійкову й навпаки нескладний і виконується простим механічним способом (завдання 1).

У десятеричній двійково-кодованій системі числення, яка часто називається двійково-десятеричною системою, використовуються десятеричні числа. У ній кожну цифру десятеричного числа (від 0 до 9) заміняють чотирьохрозрядним двійковим числом (тетрадою) (завдання 2).

Двійково-десятеричний запис числа використовують безпосередньо або як проміжну форму запису між звичайним десятеричним його записом і машинною двійковою. Обчислювальна машина сама по спеціальній програмі переводить двійково-десятеричні числа у двійкові й назад.

Переклад цілих чисел. Припустимо, число X із системи числення з основою q потрібно перевести в систему числення з основою р. Переклад здійснюється за наступним правилом. Цілу частину числа ділимо на нову основу р. Отриманий від розподілу перший залишок є молодшою цифрою цілої частини числа з основою р. Цілу частину отриманого числа знову ділимо на основу р. У результаті визначимо другий залишок, рівний наступній після молодшої цифри числа з основою p; розподіл будемо робити доти, поки не одержимо частку менше дільника. Остання частка дає старшу цифру числа з основою р (завдання 3, 4).

Для перекладу числа із двійкової системи числення в десятеричну варто скласти всі ступені двійки, що відповідають позиціям розрядів вихідного двійкового числа, у яких цифри рівні 1 (завдання 5).

Переклад дробів. Припустимо, що правильний дріб A (q), представлену в системі числення з основою q, потрібно перевести в систему числення з основою р. Переклад здійснюється за наступним правилом. Вихідне число множимо на нову основу р. Отримана при цьому ціла частина добутку є першою шуканою цифрою. Дробову частину добутку множимо на основу p; ціла частина нового добутку буде другою шуканою цифрою. Дробову частину знову множимо на основу p і т.д. (завдання 6).

Однак переклад дробів являє собою нескінченний процес і може бути здійснений приблизно. Число цифр у числі, представленому в системі числення з основою p, визначається з умови, що точність числа в цій системі повинна відповідати точності числа в системі числення з основою q.

Переклад двійкового дробу в десяткову можна здійснити додаванням всіх цифр зі ступенями двійки, що відповідають позиціям розрядів вихідного двійкового дробу, у яких цифри рівні 1 (завдання 7).

Переклад довільних чисел. Переклад чисел, що мають цілу й дробові частини, виробляється у два етапи: спочатку переводиться ціла частина числа, а потім дробова.

Наведені способи перекладу чисел з однієї системи числення в іншу являють собою досить трудомісткий процес. Однак у сучасних ЕОМ такий переклад здійснюється самою машиною автоматично по стандартних підпрограмах. До ручного перекладу звертаються у виняткових випадках.

5 Арифметичні дії над двійковими числами виконуються по тим самим правилам, що й над десятеричними.

У двійковій системі числення, так само як й у десятеричній, можуть бути записані дробові й змішані числа. Ціла й дробова частини числа у двійковій і десятеричній системах числення відокремлюються друг від друга крапкою.

На виконанні двох елементарних таблиць додавання й множення й засноване побудову арифметичних операцій у машинах з двійковими числами.

Правила двійкової арифметики:

Додавання: 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1

0 + 1 = 1 1 + 1 = 1 + 0

перенесення одиниці

у старший розряд

Вирахування: 0 – 0 = 0 1 – 1 = 0

1 – 0 = 1 1 0 – 1 = 1

позика одиниці у старшому розряді

Але замість операції вирахування в ЕОМ виконується операція додавання зменшуваного з від’ємником протилежного знака, наприклад в додатковому коді (завдання 10).

Множення: 0 х 0 = 0 1 х 0 = 0

0 х 1 = 0 1 х 1 = 1

Ділення: Операція ділення у двійковому коді виконується так само, як і у десятеричному. Також у процесі виконання операції ділення операція вирахування дільника може замінятися операцією додавання з дільником зміненого знака.

Домашнє завдання:

[6] с.48-51, 62-63.

Форми подання інформації в ЕОМ

План

1 Форми подання інформації в ЕОМ

1.1 Числа з фіксованою крапкою

1.2 Числа з плаваючою крапкою

1.3 Символи та команди

1 Числа в ЕОМ можуть бути представлені з фіксованою крапкою (комою) або із плаваючою крапкою. При цьому використовується певна кількість двійкових або двійково-десятеричних розрядів. Розряд, у свою чергу, є в ЕОМ деяким технічним пристроєм, наприклад тригером, двом різним станам якого приписуються значення 0 й 1. Крім того, в ЕОМ кодуються символи та команди.

1.1 Подання чисел у формі з фіксованою крапкою. Якщо числа представлені з фіксованою крапкою (природна форма запису), то це відповідає звичайній формі запису. При поданні чисел з фіксованою крапкою положення крапки фіксується в певнім місці щодо розрядів чисел. Звичайно мається на увазі, що крапка перебуває або перед старшим розрядом, або після молодшого. У першому випадку це дробові числа, у другому - цілі числа. Якщо крапка фіксована перед старшим розрядом, то за абсолютним значенням числа можуть бути представлені в діапазоні 1 – 2 ⁿ ≤ X ≤ 0 (n - число розрядів).

Якщо крапка фіксована після молодшого розряду, то в десятковому зображенні числа можуть бути представлені в діапазоні 2 ⁿ – l ≥ X ≥ 0. Якщо значення чисел перевищують верхню границю діапазону, то говорять, що відбулося переповнення розрядної сітки.

Достоїнством форми подання чисел з фіксованою крапкою в тому, що її застосування приводить до значного спрощення логічних і керуючих схем ЕОМ. Це пояснюється тим, що арифметичні й інші операції в таких машинах здійснюються значно простіше, ніж у машинах з формою подання чисел із плаваючою крапкою.

Наприклад, при поданні чисел з фіксованою крапкою можна складати й віднімати їх без попереднього вирівнювання порядків, тому що однойменні розряди всіх чисел, що зберігаються в машині, займають постійні й однакові позиції.

При підготовці завдання до рішення на ЕОМ з формою подання чисел з фіксованою крапкою варто враховувати можливий діапазон зміни величин, використовуваних у процесі рішення, щоб за допомогою підбора масштабів виключити переповнення розрядної сітки.

Подання чисел у формі з фіксованою крапкою широко використовується в спеціалізованих ЕОМ, де коло задач заздалегідь визначено і можна врахувати можливий діапазон зміни чисел. У машинах загального призначення, числа можуть бути представлені у формах з фіксованою та плаваючою крапкою.

Для подання чисел з фіксованою крапкою використовуються два формати: короткий (з кількістю розрядів n =16 - півслово) і довгий (n = 32 - слово).

На рис. 11.1, а показана розрядна сітка дробових чисел для подання двійкових чисел у формі з фіксованою крапкою у вигляді 32-розрядних слів, включаючи знак перед старшим розрядом. Розряди пронумеровані зліва направо. Для кодування знака числа використовують " знаковий" розряд. У цьому розряді 0 відповідає плюсу, а 1 -мінусу. На розрядній сітці зазначена вага кожного розряду. Діапазон позитивних чисел, що представляють у цій розрядній сітці, дорівнює 0 ≤ X ≤ 1–2^-31.

На рис. 11.1, б показана розрядна сітка для подання 32-розрядних (включаючи знак) цілих чисел. У цьому випадку діапазон подання позитивних чисел 0 ≤ Х ≤ 2³¹–1, що відповідає діапазону абсолютних десятеричних чисел приблизно від 0 до 2, 15∙ 10⁹.

1.2 Подання чисел у формі із плаваючою крапкою. У ЕОМ основна форма подання чисел - із плаваючою крапкою. Використання формату з фіксованою крапкою дозволяє в цих машинах підвищити продуктивність, оскільки операції з такими числами виконуються швидше. При цьому в більшості випадків формат чисел з фіксованою крапкою служить для подання цілих двійкових чисел і виконання операцій над ними. Це, наприклад, необхідно для операцій " адресної арифметики" над кодами адрес.

У машинах з формою подання чисел із плаваючою крапкою число записується в розрядну сітку у вигляді двох груп цифр. Одна група відповідає порядку числа, а інша - мантисі. Для зображення чисел із плаваючою крапкою використовується формульна залежність:

Х = q^pм

де q - основа системи числення; р - порядок числа (ціле число); м - мантиса числа (дробове число).

Порядок р разом зі знаком указує істинне положення крапки в числі X.

При поданні в ЕОМ чисел у формі із плаваючою крапкою числа можуть мати два формати: короткий (слово) і довгий (подвійне слово). Числа, представлені в цих форматах, відрізняються друг від друга тільки довжиною мантиси.

На рис. 11.2 показана розрядна сітка двійкового числа, представленого у формі із плаваючою крапкою у форматі слова. Мантиса числа за модулем менше одиниці, її знак відповідає знаку числа. Величина порядку р, що представляє собою ціле число, визначає положення крапки в числі. Знак порядку характеризує напрямок руху крапки в числі. Зі зміною порядку крапка як би " плаває" у зображенні числа.

В ЕОМ з формою подання чисел із плаваючою крапкою легко одержати дуже широкий діапазон чисел без застосування масштабних коефіцієнтів. Однак структура таких машин значно ускладнюється, тому що при виконанні операцій над числами із плаваючою крапкою необхідно мати окремі пристрої для виконання операцій як над мантисами, так і над порядками чисел. При цьому швидкість виконання операцій додавання й вирахування нижче, ніж у машинах з формою подання чисел з фіксованою крапкою, що пояснюється необхідністю проведення додаткових дій по нормалізації чисел, вирівнюванню порядків і т.д.

Якщо для порядку (включаючи його знак) відведено сім розрядів (рис.11.2), то при використанні звичайного додаткового коду порядок може бути будь-яким цілим числом від - 64 до + 63. Отже, з урахуванням знака мантиси й при q = 2 у розрядній сітці (рис. 11.2) можна представляти числа, що лежать у діапазоні від – 2⁶³ (1 – 2^–24) до – 2^–64 і від + 2^–64 до + 2⁶³ (1–2^–24), що відповідає для абсолютних величин діапазону чисел приблизно 10^–19–10¹⁹ і значно перевищує діапазон чисел у формі з фіксованою крапкою, що представлені у тім же 32-розрядному слові.

1.3 Символи (букви, знаки операцій та ін.) (рис. 11.3) кодуються за допомогою 8-бітових (1-байтових чисел) (рис. 11.3), що дозволяє закодувати 2⁸ = 256 різних символів (система ASC II).

Аналогічним чином (у вигляді двійкових чисел) кодуються команди – накази на виконання яких-небудь операцій зі словами інформації. Так, в чотирьох старших бітах команди на рис. 11.4 закодована операція (наприклад, множення), далі адреси осередків пам’яті, з яких необхідно взяти операнди (множники), і нарешті, адреса осередку пам’яті, в яку записується результат виконаної операції.

Домашнє завдання:

[6] с. 52-55

[5] с. 13-14