Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Матрица Грама в евклидовом пространстве
|
|
Пусть Еn – n- мерное евклидово пространство и пусть е = (е1, е2,..., еn) – базис в нём. Так как в Еn для любой упорядоченной пары векторов определено их скалярное произведение, то определены скалярные произведения всех пар базисных векторов. Составим из них матрицу
Г =  (41)
| Матрица Г называется матрицей Грама скалярного произведения для базиса е. Используя матрицу Грама, можно получить формулу для вычисления скалярного произведения векторов, |
заданных координатами.
Пусть в базисе е заданы векторы а = х1 е1 + х2 е2 + … + хn еn, в = у1 е1 + у2 е2 + … + уn еn . Тогда (а, в) = (х1 е1 + х2 е2 + … + хn еn)× (у1 е1 + у2 е2 + … + уn еn) = 
= х Т× Г × у, где х Т – строка координат вектора а, у – столбец координатвектора в. Итак, (а, в) = х Т× Г × у (42).
Свойства матрицы Грама.
10. Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.
Это следует из того, что (ек, еs) = (еs, ек).
20. Диагональные элементы матрицы Грама строго положительны.
Это следует из того, что ек ¹ 0 и, следовательно, (ек, ек) > 0.
30. Для матрицы Грама и любого n- мерногостолбца х выполняется условие х Т× Г × х > 0.
Это следует из 4-ой аксиомы определения скалярного произведения.
Симметрическую матрицу А, удовлетворяющую условию х Т× А × х > 0 для любого
ненулевого столбца х, называют положительно определённой. Следовательно, матрица
Грама положительно определённая.
40. Пусть е = (е1, е2,..., еn) и е1 = (е11, е21,..., еn1) –два базиса в Еn, Г и Г1 – матрицы Грама данного скалярного произведения в базисах е и е1 соответственно. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е1. Тогда (а, в) = х Т× Г × у, х = Т× х1, у = Т× у1, х Т= (Т× х1) Т= (х1) Т× ТТ. Следовательно, (а, в) = ((х1) Т× ТТ)× Г× (Т× у1) = (х1) Т× (ТТ × Г× Т)× у1. Но (а, в) = (х1) Т× Г1× у1. Отсюда
Г1 = ТТ× Г× Т (43)
Формула (42) даёт связь матриц Грама в разных базисах.
50. Определители матриц Грама во всех базисах имеют один и тот же знак.
Из формулы (43) следует ú Г1 ú =ú ТТ ú × ú Г ú × ú Т ú = ú Г ú × ú Т ú 2. Так как | Т ú 2> 0, то ú Г1 ú и ú Г ú имеют одинаковые знаки.
60. Все главные миноры матрицы Грама строго положительны.
Примеры.
1. Во множестве М2 квадратных матриц с действительными элементами скалярное произведение задано формулой 
. Найти матрицу Грама этого произведения в базисе е1 = 
, е2 = 
, е3 = 
, е4 = 
.
Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (е1, е1) = 1, (е1, е2) = (е2, е1) = 0, (е1, е3) = (е3, е1) = 0, (е1, е4) = (е4, е1) = 0, (е2, е2) = 1, (е2, е3) = (е3, е2) = 0, (е2, е4) = (е4, е2) = 0, (е3, е3) = 1, (е3, е4) = (е4, е3) = 0, (е4, е4) = 1. Следовательно,
Г = 
.
2. В пространстве R [ х ] многочленов степени не выше 3-х скалярное произведение задано формулой 
, где a и b – фиксированные действительные числа, a < b. Составить матрицу Грама в базисе (1, х, х2, х3).
Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (1, 1) = 
= b – a,
(1, х) = (х, 1) = 
= 
), (1, х2) = (х2, 1) = 
= 
), (1, х3) = (х3, 1) = 
= 
), (х, х) = 
= ), (х, х2) = (х2, х) = 
= ), (х, х3) = (х3, х) = 
= 
), (х2, х2) = 
= ), (х2, х3) = (х3, х2) = 
= 
), (х3, х3) = 
= 
). Матрица Грама будет иметь вид:
Г = 
.
3. В базисе (е1, е2, е3) пространства Е3 скалярное произведение задано матрицей Грама Г = 
. Найти скалярное произведение векторов а = (1, –5, 4) и в = (–3, 2, 7).
Решение. Используя формулу (41), получим (а, в) = (1, –5, 4) × × 
= 7.