Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Сопряженные линейные преобразования
Пусть j - линейное преобразование евклидова пространства Еn. Определение 55. Линейное преобразование j*: Еn ® Еn называется сопряжённым к преобразованию j, если для любых двух векторов а и в из Еn выполняется условие (а, j (в)) = (j* (а), в) (52) Теорема 54. Матрицы сопряжённых преобразованийсвязаны формулой А = Г– 1× (А*)Т× Г. Пусть в Еn зафиксирован базис е = (е1, е2,..., еn), Г – матрица Грама, А – матрица преобразования j и А* – матрица j*. Если х, у, у1 и х* – столбцы координат векторов а, в, j (в)и j* (а)) соответственно, то (а, j (в)) = х Т× Г × у1, (j* (а), в) = (х*)Т × Г× у. Используя равенство (52), получим х Т× Г × у1 = х*× Г× у. Используя связь координат вектора и его образа (формула (36)), получим у1 = А× у, х* = А* × х. Подставим в предыдущее равенство: х Т× Г × (А × у) = (А*× х)Т× Г× у, х Т× (Г × А)× у = х Т× ((А*)Т× Г)× у. Отсюда Г × А = (А*)Т× Г, или А = Г– 1× (А*)Т× Г (53) Следствие 1. А* = Г– 1× А Т× Г (54). Доказательство. Из формулы (53) следует, что (А*)Т = Г× А× Г –1, А* = (Г –1)Т× А Т× Г Т. Так как Г – симметрическая матрица, то Г Т = Г. Следовательно, А* = Г– 1× А Т× Г. Следствие 2. Сопряжённость линейных преобразований взаимна. Доказательство следует из формул 53 и 54. Следствие 3. Если базис ортонормированный, то А* = А Т. Доказательство следует из того, что в ортонормированном базисе Г = Е. Пример. В базисе е = (е1, е2, е3, е4) пространства Е4 скалярное произведение заданоматрицей Грама Г = . Пусть А = – матрица линейного преобразования j в этом базисе. Найти матрицу сопряжённого преобразования. Решение. Легко проверить, что Г удовлетворяет всем требованиям матрицы Грама. Используем формулу (54). Из неё А* = Г– 1× А Т× Г. Нужно найти матрицу Г–1. Проверьте, что Г–1 = . Итак, А* = × × = . Теорема 55. Если некоторое подпространство L евклидова пространства Еn инвариантно относительно линейного преобразования j, то ортогональное дополнение L ^ инвариантно относительно сопряжённого преобразования j*. Доказательство. Пусть а Î L, в Î L ^. Тогда из условия j (а) Î L следует, что (в, j (а)) = 0. Но (в, j (а)) = (j* (в), а). Следовательно, (j* (в), а) для любого вектора а Î L. Следовательно, j* (в) Î L ^ для любого вектора в Î L ^. Но это и означает, что подпространство L ^ инвариантно относительно j.
|