Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Квадратичные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана симметрическая билинейная форма f (а, в). Определение 61. Симметрическая билинейная форма f (а, в) при условии а = в называется квадратичной формой, заданной на Ln (j (а) = f (а, в)). При этом f (а, в) и j (а) называются соответствующими друг другу. Если в пространстве Ln задан базис е = (е1, е2, …, еn) и а = х1 е1 + х2 е2 + … + хn еn, то, используя формулу (55), получим запись квадратичной формы в координатах j (а) = (59) Матрица квадратичной формы совпадает с матрицей соответствующей симметрической билинейной формы. Квадратичная форма в матричном виде запишется j (а) = х Т× А × х (60) Если в пространстве Ln зафиксирован базис, то между всеми квадратичными формами, заданными на Ln и всеми симметрическими квадратными матрицами порядка n устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Сумма двух квадратичных форм является квадратичной формой. При умножении квадратичной формы на элемент поля Р получается тоже квадратичная форма. При сложении квадратичных форм складываются их матрицы. Если форма умножается на элемент поля Р, то на этот же элемент умножается и её матрица. Следовательно, множество всех квадратичных форм, заданных на Ln, есть линейное пространство, изоморфное линейному пространству квадратных симметрических матриц порядка n. Размерность этого пространства равна . Так как квадратичная форма и соответствующая симметрическая билинейная форма имеют одну и ту же матрицу, то связь матриц А и А1 в разных базисах задаётся формулой (56), т.е. А1 = Т Т× А × Т, где Т – матрица перехода от первого базиса ко второму, Т Т – матрица, транспонированная для матрицы Т. Следовательно, в разных базисах квадратичная форма имеет более или менее сложные матрицы, а поэтому более или менее сложную запись в координатах. Поэтому возникает задача: найти в пространстве Ln такой базис, в котором квадратичная форма имела бы наиболее простой вид. Определение 62. Если j (а) = a1 х12 + a2 х 22 + … + an х n2, то говорят, что квадратичная форма j (а) имеет канонический вид. Если поле Р есть поле рациональных или действительных чисел и j (а) = х12 + х22 + … + хк2 – хк+12 – … – хr2, то говорят, что квадратичная форма имеет нормальный вид. В случае, когда Р = Снормальным видом квадратичной формы называют j (а) = х12 + х22 + …+ хк2 + хк+12 +.+ хr2. Теорема 64. Всякая квадратичная форма с помощью линейного невырожденного преобразования (преобразования координат) может быть приведена к каноническому виду. Доказательство. Пусть j (а) – квадратичная форма, заданная на пространстве Ln. Пусть в Ln задан базис е и пусть в этом базисе j (а) = х Т× А × х. Матрица А –симметрическая, поэтому по теореме 60 существует такая ортогональная матрица Т, что матрица А1 = Т– 1× А × Т будет диагональной, причём на диагонали стоят собственные значения матрицы А (они все – действительные числа). Так как ортогональная матрица невырожденная, то существует такой базис е1, что Т будет матрицей перехода от базиса е к базису е1. Так как для ортогональной матрицы Т –1 = Т Т, то А1 – матрица данной формы в базисе е1. Итак, в базисе е1 данная форма имеет канонический вид. Замечание. Приведение симметрической матрицы к диагональному виду описано в примере пункта 8.3. Теорема 65. Всякую квадратичную форму линейным невырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду. Доказательство. В теореме 64 доказано, что квадратичную форму можно привести к каноническому виду. Перенумеровав, если нужно переменные, будем считать, что первые r коэффициентов в каноническом виде отличны от нуля, а остальные (n – r) равны нулю. 1) В случае, когда Р = С сделаем преобразование координат по формулам (*).
Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму j = 2 х1х2 + 2 х1х3 – 2 х1х4 – 2 х2х3 + 2 х2х4 + 2 х3х4. Решение. Матрица данной квадратичной формы
|