Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Распадающиеся квадратичные формы⇐ ПредыдущаяСтр 35 из 35
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм. Теорема 70. Квадратичная форма над полем комплексных чисел распадается тогда и только тогда, когда её ранг меньше или равен двум. Квадратичная форма над полем действительных чисел распадается тогда и только тогда, когда либо её ранг не больше единицы, либо её ранг равен двум, а положительный индекс инерции равен единице. Доказательство. Если форма нулевая (её ранг равен нулю), то утверждение теоремы очевидно. Рассмотрим любую ненулевую форму j (а). Þ Пусть квадратичная форма j распадающаяся. Тогда j (а) = (a1х1 + a2х2 + … + anхn)× (b1х1 + b2х2 + … + bnхn). Возможны два случая: 1. aк = lbк для всех к = 1, 2, …, n. Тогда j (а) = l(a1х1 + a2х2 + … + anхn)2. Сделав преобразование координат по формулам: у1 = a1х1 + a2х2 + … + anхn, у2 = х2, …, уn = хn, получим j (а) = l у12. Но это канонический вид данной формы. Следовательно, ранг формы равен 1. 2. Не все aк равны соответствующим bк. Сделав преобразование координат по формулам: у1 = a1х1 + a2х2 + … + anхn, у2 = b1х1 + b2х2 + … + bnхn, у3 = х3, …, уn = хn, получим j = у1у2. Сделав ещё одно преобразование координат по формулам: у1 = z1 – z2, у2 = z1 + z2, у3 = z3, …, zn, получим j = z12 – z22. В случае поля действительных чисел это выражение является нормальным видом данной формы. Следовательно, ранг формы равен 2, а положительный индекс инерции равен 1. Если дана форма над полем комплексных чисел, то преобразование у1 = z1 –i z2, у2 = z1 +i z2, у3 = z3, …, zn приводит форму к виду j = z12 + z22. Ранг этой формы равен 2. Ü Если действительная или комплексная форма имеет ранг 1, то она приводится к нормальному виду j (а) = у12. Из формул преобразования координат у1=a1х1 + a2х2 +…+ anхn . Но тогда j = (a1х1 + a2х2 + … + anхn)2, т.е. форма распадающаяся. Если комплексная форма имеет ранг 2, то она приводится к виду j = z12 + z22 = (z1 – i z2) × (z1 +i z2). Подставив вместо z1 и z2 их выражения из формул преобразования координат, получим в исходных координатах j (а) = (a1х1 + a2х2 + … + anхn)× (b1х1 + b2х2 + … + bnхn), т.е. форма распадающаяся. Если действительная форма имеет ранг 2 и положительный индекс инерции 1, то она приводится к виду j = z12 – z22 = (z1 – z2)× (z1 + z2). Подставив вместо z1 и z2 их выражения, получим j (а) = (a1х1 + a2х2 + … + anхn)× (b1х1 + b2х2 + … + bnхn), т.е. форма распадающаяся.
Пример. Будет ли распадающейся над полем действительных чисел квадратичная форма: j = 3 х12 + 3 х1х2 – 2 х1х3 + 8 х1х4 – 2 х2х3 + 5 х2х4 – 2 х3х4 + 5 х42. Решение. Приведём форму к каноническому виду. j = (36 х12 + 36 х1х2 – 24 х1х3 + 96 х1х4 + 9 х22 + 4 х32 + 64 х42 – 12 х2х3 + 48 х2х4 – 32 х3х4) – х22 – – х32 – х42 + х2х3 – 4 х2х4 + х3х4 – 2 х2х3 + 5 х2х4 – 2 х3х4 + 5 х42 = (6 х1 + 3 х2 – 2 х3 + 8 х4)2 – – ( х22 + 3 х2х3 – 3 х2х4 + х32 + х42 – 2 х3х4) + х32 + х42 – х3х4 – х32 – х42 + х3х4 – – 2 х3х4 + 5 х42 = (6 х1 + 3 х2 – 2 х3 + 8 х4)2 – ( х2 + х3 – х4)2. Отсюда видно, что ранг данной формы равен 2, а положительный индекс инерции равен 1, следовательно, форма распадается. Действительно, j = (3 х1 + х2 – х3 + 4 х4 + х2 + х3 – х4)× (3 х1 + х2 – х3 + 4 х4 – х2 – х3 + х4). Отсюда j = (х1 + х2 + х4)× (3 х1 – 2 х3 + 5 х4).
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К КОЛЛОКВИУМУ «Определители. Матрицы. Линейные пространства»
1. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений. 2. Определители 2-го и 3-го порядка. 3. Перестановки: определение, свойства. 4. Подстановки: определение, свойства. 5. Определители n -го порядка: определение, свойства, в которых говорится о равенстве определителя нулю. 6. Определители n -го порядка: определение, свойства, в которых говорится, что определитель не изменится. 7. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителя, в котором все элементы одной строки, кроме одного, равны нулю. 8. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Сумма произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения элементов другой строки. 9. Теоремы Лапласа и Крамера. 10. Матрицы. Сложение матриц: определение, свойства. 11. Умножение матрицы на элемент поля Р: определение, свойства. 12. Умножение квадратных матриц. Определитель произведения двух матриц. 13. Обратная матрица. 14. Решение матричных уравнений. 15. Определение и примеры линейных пространств. 16. Арифметическое линейное пространство. 17. Линейно зависимые системы векторов: определение, свойства. 18. Линейно независимые системы векторов: определение, свойства. 19. Максимальная линейно независимая система векторов данного линейного пространства: определение, свойства. Максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов. Ранг системы векторов. 20. Базис линейного пространства: определение, примеры, свойства, размерность линейного пространства. 21. Координаты вектора в данном базисе: определение, свойства. 22. Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах. 23. Подпространства линейных пространств: определение, свойства, примеры. Линейная оболочка системы векторов. 24. Сумма и пересечение линейных подпространств. Теорема о размерности суммы двух конечномерных линейных подпространств. Прямая сумма. 25. Изоморфизм линейных пространств.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскости; модуль и аргумент комплексного числа; тригонометрическая форма комплексного числа; умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме. 2. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений. 3. Перестановки и подстановки: определение, свойства, чётные и нечётные перестановки и подстановки, умножение подстановок. 4. Определители n -го порядка: определение, свойства; дополнительные миноры и алгебраические дополнения; вычисление определителя, в котором все элементы одной строки, кроме одного, равны нулю. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Сумма произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения элементов другой строки. Теоремы Лапласа и Крамера. 5. Матрицы. Сложение матриц: определение, свойства. 6. Умножение матрицы на элемент поля Р: определение, свойства. 7. Умножение квадратных матриц. Определитель произведения двух матриц. 8. Обратная матрица: определение, свойства, способ вычисления. 9. Решение матричных уравнений. 10. Линейные пространства: определение, примеры. Арифметическое линейное пространство. Доказать, что множество матриц одной и той же размерности с элементами из поля Р есть линейное пространство. 11. Линейно зависимые и независимые системы векторов: определение, свойства, примеры. 12. Максимальная линейно независимая система векторов данного линейного пространства: определение, свойства. Максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов. Ранг системы векторов. 13. Базис линейного пространства: определение, примеры, свойства, размерность линейного пространства. Размерности арифметического линейного пространства, пространства матриц и пространства многочленов R [ х ]. 14. Координаты вектора в данном базисе: определение, свойства. Действия с векторами в координатах. Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах. 15. Подпространства линейных пространств: определение, свойства, примеры. Линейная оболочка системы векторов. 16. Сумма и пересечение линейных подпространств. Теорема о размерности суммы двух конечномерных линейных подпространств. Прямая сумма. 17. Изоморфизм линейных пространств: определение, свойства, примеры. 18. Столбцовый и строчный ранги матрицы: определение, теорема о столбцовом ранге матрицы, ранг матрицы, практическое правило вычисления ранга матрицы. 19. Теорема Кронекера-Капелли о системе линейных уравнений. Практическое правило решения системы линейных уравнений, общее и частное решения. 20. Пространство решений системы линейных однородных уравнений, фундаментальная система решений (ФСР), выражение общего решения через ФСР. 21. Связь решений системы линейных неоднородных уравнений и соответствующей системы линейных однородных уравнений. 22. Задание подпространств конечномерного линейного пространства с помощью систем линейных уравнений. 23. Линейные операторы: определение, примеры, свойства, сумма линейных операторов, умножение линейного оператора на элемент основного поля. 24. Матрица линейного оператора в данной паре базисов. Соответствие между всеми линейными операторами j: Ln ® Lm и всеми матрицами порядка n´ m с элементами из основного поля. 25. Теорема о задании линейного оператора j: Ln ® Lm базисом из Ln и упорядоченным набором n векторов из Lm . 26. Связь между координатами вектора и его образа при линейном операторе. Связь между матрицами линейного оператора в разных парах базисов. 27. Область значений и ядро линейного оператора: определение, свойства, примеры. 28. Линейные преобразования линейного пространства: определение, примеры, свойства. 29. Сумма линейных преобразований, умножение линейного преобразования на элемент поля Р. Линейное пространство, сопряжённое данному линейному пространству. 30. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования: определение, примеры, свойства. 31. Характеристический многочлен, характеристические корни и собственные значения квадратной матрицы. 32. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного преобразования. 33. Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром. 34. Скалярное произведение векторов, его свойства. Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств. 35. Матрица Грама в евклидовом пространстве: определение, свойства, формула для вычисления скалярного произведения. 36. Длина вектора, угол между векторами, ортогональность векторов в евклидовом пространстве: определение, примеры, свойства. 37. Ортогональные дополнения вектора и евклидова подпространства: определение, свойства, примеры. 38. Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве: определение, свойства, примеры. Теорема о том, что любой базис в конечномерном евклидовом пространстве можно ортонормировать. Скалярное произведение векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе. 39. Изоморфизм евклидовых пространств: определение, свойства, примеры. 40. Ортогональное линейное преобразование: определение, примеры, свойства. Ортогональная матрица. 41. Сопряжённые линейные преобразования: определение, свойства, примеры. Доказать, что для всякого линейного преобразования пространства Еn существует сопряжённое. 42. Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования: определение, примеры, свойства. Симметрические матрицы, их свойства. 43. Билинейные формы. 44. Квадратичные формы: определение, примеры. Матрица квадратичной формы. Матричная запись квадратичной формы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому и нормальному виду над полем R (над полем С). 45. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов. 46. Ранг, положительный индекс инерции, дефект действительной и комплексной квадратичных форм. Закон инерции квадратичной формы. 47. Положительно определённые квадратичные формы: определение; необходимое и достаточное условие, при котором форма является положительно определённой; примеры. 48. Распадающиеся квадратичные формы: определение; необходимые и достаточные условия, при которых форма является распадающейся над полем R (над полем С). 49. 50.
ЛИТЕРАТУРА
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974 (и все последующие издания). 2. Половицкий Я.Д. Алгебра. Части 1 и 2. – Пермь: ПГУ, 2010. 3. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные задачи. – М: Финансы и статистика, 2003. 4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Физматгиз, 1959 (и все последующие издания). 5. Шевцов Г.С. Линейная алгебра. – Пермь, ПГУ, 1996. 6. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука, 1984 (и все последующие издания)
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Беклемышев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Физматгиз, 2000. 2. Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств. М.: Наука, 1984.
МЕТОДИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Линейная алгебра. Лабораторные работы 1 – 7 и 8 – 13. – Пермь: ПГУ, 2006. 2. Методические указания к лабораторным работам по алгебре и геометрии. – Пермь: ПГУ, 1984.
|