Ортогональные линейные преобразования

Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов а и в из Е выполняется условие

(а, в) = ( j (а), j (в)) (49)

Свойства ортогональных преобразований.

Пусть j – ортогональное преобразование пространства Е.

1⁰. | а | = | j (а)| для любого вектора а.

| а | = = = | j (а)|.

2⁰. = для любых векторов а и .

3⁰. Пусть Е_n конечномерное евклидово пространство, е = (е₁, е₂,..., е_n) – базис в нём, А – матрица преобразования j и Г – матрица Грама в этом базисе. Тогда j (а) = А× х, j () = А× у, где х и у – столбцы координат векторов а и соответственно; (а, ) = х^Т× Г× у, (j (а), j ()) = (А× х)^Т× Г × (А× у) = х ^Т× (А ^Т× Г × А)× у. Так как (а, ) = (j (а), j ()), то Г = А ^Т× Г × А. Итак, матрица ортогонального преобразования удовлетворяет условию

Г = А ^Т× Г × А (50)

Справедливо и обратное. Если в Е_n зафиксирован базис и Г – матрица Грама в этом базисе, то матрица А, удовлетворяющая условию (50), задаёт ортогональное преобразование.

Если базис е = (е₁, е₂,..., е_n) ортонормированный, то Г = Е и формула (50) примет вид

А^Т× А = Е, или А^Т = А^–1.

Определение 54. Квадратная матрица А называется ортогональной, если

А^Т = А^–1 (51).

Теорема 48. Линейное преобразование евклидова пространства является ортогональным тогда и только тогда, когда в ортонормированном базисе оно задаётся ортогональной матрицей.

Доказательство следует из свойства 3⁰ и определения 53.

Теорема 49. Квадратная матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда сумма квадратов всех элементов любого столбца (или строки) равна 1, а сумма попарных произведений соответствующих элементов двух различных столбцов (или строк) равна нулю.

Доказательство следует из формулы 51.

Теорема 50. Линейное преобразование евклидова пространства является ортогональным тогда и только тогда, когда оно ортонормированный базис переводит в ортонормированный базис.

Доказательство. Þ Пусть j: Е_n ® Е_n ортогональное преобразование и пусть е = (е₁, е₂,..., е_n) ортонормированный базис в Е_n. Если А – матрица этого преобразования в базисе е, то А – ортогональная. Но тогда j (е) = е × А. Распишем это равенство, если

А = .

Получим j (ек) = а1ке1 + а2ке2 + … + аnкеn. Так как базис е ортонормированный, то (j (ек))2 = = (ек)2 = 1, т.е. все векторы j (ек) единичной длины. По той же причине (j (ек), j (ер)) = а1к× а1р + а2к× а2р + … + аnк× аnр = (ек, ер) = 0,

если к ¹ р, т.е. j (е_к) ^ j (е_р). Так как векторы системы j (е) попарно ортогональны, то они линейно независимы, т.е. j (е) – базис. Итак, j (е) – ортонормированный базис.

Ü Пусть е и j (е) – ортонормированные базисы. Тогда 1 = (j (е_к))² = и 0 = (j (е_к), j (е_р)) = а_1к× а_1р + а_2к× а_2р + … + а_nк× а_nр при к ¹ р. Следовательно, по теореме 49, матрица А – ортогональная.

Теорема 51. Если матрица А ортогональная, то | А | = ± 1.

Действительно, если матрица А ортогональная, то А ^Т× А = Е. Отсюда | А ^Т× А | = | Е |, | А ^Т|× | А | = 1, | А |× | А | = 1, | А |² = 1, | А | = ±1.

Теорема 52. Собственные значения ортогонального преобразования могут быть только 1 или (–1).

Доказательство. Пусть l – собственное значение ортогонального преобразования j.

Тогда существует такой ненулевой вектор (х₁, х₂, …, х_n)^Т, что А× х = l× х, где А – матрица преобразования j. Равенство транспонируем и перейдём к сопряжённым числам, получим . Перемножим почленно оба равенства. . Так как А – действительная ортогональная матрица, то . Следовательно, . Отсюда , т.е. | l |² = 1. Но это и значит, что собственными значениями могут быть только числа 1 и (–1).

Теорема53. Собственные векторы ортогонального преобразования, принадлежащие различным собственным значениям ортогональны.

Доказательство. Для любых а и в из Е_n имеет место (а, в) = (j (а), j (в)) = (l₁ а, l₂ в) = = l₁l₂ (а, в). Так как l₁ ¹ l₂, то, согласно предыдущей теоремы, l₁ =1, l₂ = –1. Следовательно, (а, в) = – (а, в). Отсюда (а, в) = 0. Так как а и в не нулевые, то они ортогональные.