Построение линии пересечения плоскостей

Способ построения линии пересечения двух плоскостей является частным случаем способов вспомогательных секущих посредников. В качестве посредников выступают секущие плоскости.

Любую прямую линию, в том числе и прямую пересечения двух плоскостей, можно провести через две точки, следовательно, для построения достаточно двух вспомогательных плоскостей.

Способ построения прямой пересечения двух плоскостей заключается в следующем.

1. Две заданные плоскости рассекают (пересекают) третьей — вспомогательной, лучше проецирующей или уровня.

2. Строят прямые пересечения вспомогательной плоскости с каждой из заданных плоскостей (Таких прямых получится две).

3. Точка пересечения построенных прямых является общей для обеих заданных плоскостей, т.е. лежит на искомой линии пересечения. (Одна точка определена).

4. Вторую точку на линии пересечения построим, проведя еще одну вспомогательную плоскость и выполнив построения соответственно пунктам 1, 2, 3. Чтобы эти построения были аналогичны предыдущим, рекомендуется вторую плоскость проводить параллельно первой.

Пример. Построить линию пересечения плоскостей φ (m||n) и ω (k∩ p).

Рис.

Ход решения.

1. Пересекаем обе заданные плоскости вспомогательной горизонтальной плоскостью б (б₂).

2. Строим линии пересечения 1 2 и 3 4 плоскости б с плоскостями φ (m||n) и ω (k∩ p) соответственно.

1₂2₂ = б, находим 1₁ 2₁; 3₂4₂ = б, находим 3₁ 4₁.

3. Прямые 1 2 и 3 4 пересекаются в точке А (А₁, А₂), которая, являясь общей для всех трех плоскостей, лежит на искомой линии пересечения.

4. Для линии пересечения надо найти еще одну точку, например, В. Находим ее аналогично. Пересечем обе заданные плоскости вспомогательной плоскостью б’ (б₂') б₂|| б₂'.

Пл. б’∩ φ (m||n) = 56 (5₁6₁, 5₂6₂); пл. б’∩ ω (k∩ p) = 78 (7₁8₁, 7₂8₂); 56 ∩ 78 = В (B₁, B₂).

5. Соединяем точки А и В. АВ — искомая линия пересечения плоскостей φ (m||n) и ω (k∩ p).