Принцип Кавальери.

Понятие объема.

Из курса планиметрии известно, что каждый многоугольник имеет площадь, которая измеряется с помощью выбранной единицы измерения площадей. В качестве единицы измерения площадей обычно берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. Объем измеряется с помощью выбранной единицы измерения объемов. За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см³. Аналогично определяются кубический метр (м³), кубический миллиметр (мм³) и т. п. При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и их частей содержится в данном теле.

Задача измерения объемов тел состоит в том, чтобы при избранной единице измерения каждому телу поставить в соответствие определенное положительное число, называемое объемом тела, так, что выполняются следующие условия.

Свойства объемов.

Объем куба, ребро которого равно единице измерения длин отрезков, равен единице и принимается за единицу измерения объемов.

2. Равные тела имеют равные объемы (свойство инвариантности). Равенство двух фигур в стереометрии определяется так же, как и в планиметрии: два тела называются равными, если их можно совместить наложением. Равными телами являются два прямоугольных параллелепипеда с соответственно равными измерениями, две прямые призмы с равными основаниями и равными высотами, две правильные пирамиды, у которых соответственно равны стороны оснований и высоты и т. д.

3. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел (свойство аддитивности). Пусть тело составлено из нескольких тел. При этом мы предполагаем, что любые два из этих тел не имеют общих внутренних точек, но могут иметь общие граничные точки. Объем полученного тела складывается из объемов составляющих его тел.

4.Если тело с объемом V₁ содержится в теле с объемом V₂, то V₁ £ V₂ (свойство монотонности объемов).

Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими.

Два тела называются равносоставленными, если, определенным образом разбив одно из них на конечное число частей, можно из этих частей составить второе тело.

Из свойств объемов следует, что равносоставленные тела равновелики.

Принцип Кавальери.

Точное обоснование формул для вычисления площадей многих фигур в планиметрии, а также объемов тел в стереометрии весьма сложно. Однако вопрос о выводе формул для вычисления площадей плоских фигур и объемов тел в пространстве может быть решен, если принять без доказательства следующие утверждения:

- если при пересечении двух плоских фигур прямыми, параллельными одной и той же прямой, в сечениях этих фигур любой из прямых получаются равные между собой отрезки, то площади данных фигур равны;

- если при пересечении двух тел плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях этих тел любой из плоскостей получаются равновеликие между собой фигуры, то объемы данных тел равны.

Эти утверждения обосновал итальянский математик Бонавентура Кавальери (1598 - 1647), по имени которого они носят название принципа Кавальери.

Для вывода формул объемов тел используем еще более сильное утверждение:

- если при пересечении двух тел плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях этих тел любой из плоскостей получаются фигуры, площади которых относятся как m: n, то объемы данных тел относятся как m: n.