Объем прямой призмы.

Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:

Докажем эту теорему:

1. Рассмотрим произвольную прямую призму с площадью основания S и высотой h и прямоугольный параллелепипед с площадью основания S и высотой h. Расположим призму и параллелепипед так, чтобы их основания лежали в одной плоскости и оба многогранника находились по одну сторону от этой плоскости. Тогда каждая плоскость, параллельная плоскости основания параллелепипеда и пересекающая его, пересекает и призму. Плоскости сечений призмы и параллелепипеда, параллельных основаниям этих многогранников, равны площадям оснований многогранников, а значит, равны между собой. Согласно принципу Кавальери S₁: S₂ = V₁: V₂. По условию S₁ = S₂ Þ V₁ = V₂.

2. Для прямой треугольной призмы, в основании которой лежит произвольный треугольник. Проведем высоту основания BD, которая разделит треугольник основания на два прямоугольных треугольника: DABD и DCBD. По свойству объемов

2. Для прямой призмы, в основании которой лежит произвольный многоугольник. Разобьем многоугольник основания диагоналями на произвольные треугольники, проведем через диагонали плоскости, перпендикулярные основанию. Призма разобьется на n произвольных треугольных призм, причем по свойству объемов ее объем будет равен сумме объемов полученных треугольных призм: