Разработка математической модели

Рассмотрим многослойную плиту в общем случае переменной толщины, собранную из произвольного числа однородных ортотропных слоев толщиной (см. рис. 5.30, а, б).

Предполагается, что в каждой точке любого слоя плиты имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная координатной поверхности плиты; координатная поверхность параллельна внешним ее поверхностям и проходит внутри какого-либо слоя. В частности, координатной поверхностью может служить также какая-либо из поверхностей контакта слоев или одна из граничных поверхностей.

Пусть и являются прямоугольными ортогональными координатами, совпадающими с линиями координатной поверхности, которая в свою очередь, является срединной плоскостью пластины, а , будучи нормальной к координатным линиям , является прямолинейной и представляет расстояние по нормали от точки () координатной поверхности до точки () пластины. Допустим, что все слои пластины при деформации остаются упругими, то есть подчиняются обобщенному закону Гука и работают совместно без скольжения.

Все напряжения, как нормальные, так и касательные, считаются положительными, если они, будучи приложенными к площадкам с положительными внешними нормалями, действуют по направлению соответствующих положительных внешних нормалей.

Если сплошное тело под действием каких-либо сил претерпевает деформацию, то какая-либо точка этого тела получит перемещение, которое может быть представлено тремя проекциями вектора полного перемещения на направления касательных к координатным линиям .

За положительные принимают перемещения, направленные в сторону положительных изменений соответствующих независимых переменных .

Дополнительно предположим:

– расстояние по нормали () между двумя точками пластины до и после деформации остаются неизменными;

– при определении деформаций и считаем, что касательные напряжения и не отличаются от соответствующих напряжений, найденных при наличии гипотезы недеформируемых нормалей, то есть от соответствующих напряжений классической теории изгиба анизотропных пластин.

Решить такую сложную трехмерную задачу не представляется возможным, а поэтому рассмотрим две части ее решения: плоское напряженное состояние и напряженно-деформированное состояние от изгиба и сдвига, а затем эти решения просуммируем.