Напряженно-деформированное состояние от изгиба и сдвига

Для определения напряженно-деформированного состояния плиты от изгиба и сдвига рассмотрим расчетную схему, приведенную на рис. 5.30, а, б. При этом учитываются все три вида нагрузок: от массы вышележащего массива горных пород , собственной массы и сил реакции основания .

Для решения задачи используем прием, состоящий в представлении полного прогиба в виде суммы двух составляющих – за счет изгиба и сдвига

. (5.103)

Деформации в любой точке -го слоя пластины в предположении гипотезы прямых нормалей имеют вид

. (5.104)

Соответствующие перемещения

(5.105)

В выражении (5.101) приняты краткие обозначения в частных производных, которые будут использованы в дальнейшем.

Параметры изменения кривизны в пределах точности технической теории

, (5.105)

где – дополнительные слагаемые, учитывающие влияния поперечных (перерезывающих) сил.

Закон Гука для -го слоя плиты запишем

(5.106)

.

Решая систему уравнений (5.106) относительно компонент тензора напряжений и учитывая соотношения (5.100), получим

; (5.107)

;

,

где упругие постоянные материала слоев пластины имеют вид

; ; ; (5.108)

Умножая (5.104) на и соответственно интегрируя, получим выражения для изгибающих и крутящего моментов

; ; . (5.109)

В соотношениях (5.106) введены следующие обозначения для жесткостей на изгиб и кручения (см.рис.5.13)

, (5.110)

где – расстояние по нормали от предыдущей до последующей поверхности плиты;

– получены из (5.108) заменой на .

Здесь () – число всех слоев пластины; – число слоев ниже координатной поверхности: – число остальных слоев; – расстояние по нормали от нижней до координатной поверхности плиты. Если координатная поверхность плиты расположена внутри какого-либо слоя, то под подразумевается число слоев выше координатной поверхности плюс один, а если же координатная поверхность плиты совпадает с какой-либо поверхностью контакта, то под подразумевается число слоев выше координатной поверхности.

В силу принятой гипотезы о недеформируемой нормали плиты поперечные силы имеют вид

; , (5.111)

а в связи с принятыми предположениями для напряжений, имеем

;

(5.112)

,

где функции и при интегрировании (5.112) имеют вид

; . (5.113)

В соответствии с принципом возможных перемещений вариация полной энергии деформированной пластины в состоянии равновесия равна нулю, то есть

, (5.114)

где – вариация потенциальной энергии пластины;

– вариация потенциала внешних сил.

Вариация потенциала внешних сил для первого варианта пластины равна вариации суммы потенциальной энергии нагрузки от массы вышележащего массива , собственной массы и реакции основания .

. (5.115)

где .

Вариацию потенциальной энергии плиты представим как сумму вариаций энергий деформаций изгиба и сдвига .

, (5.116)

где

; (5.117)

. (5.118)

Здесь – деформации сдвига в плоскости и соответственно.

. (5.119)

Преобразуем выражение (5.117), используя соотношения (5.109)

. (5.120)

Учитывая соотношения (5.114), (5.115), (5.118), (5.120) и заменяя параметры изменения кривизны функциями прогибов и из выражения (5.106), для вариации полной энергии слоистой пластины получим

. (5.129)

Здесь введены следующие обозначения

; (5.130)

; .

В выражении принимает значения , а функции и соответствуют функциям и .

Искомые функции представим в виде

(5.131)

где – неопределенные параметры;

– заданные координатные функции.

Подставив выражения (5.119) в (5.112) и приравнивая нулю, производные по параметрам от интеграла по серединной поверхности, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно .

Вводя безразмерные величины и константы по формулам

(5.132)

и опуская в дальнейшем черту в обозначениях безразмерных величин, получим систему уравнений следующего вида

(5.133)

где введены следующие обозначения

(5.134)

Выражения для функций и , и получили из выражений для

и заменой в них на и на .

Зависимости для напряжений имеют вид

,

,

, (5.135)

,

.

Зная геометрические параметры целика, количество слоев горных пород, их механические характеристики и нагрузки, граничные условия с учетом выбранных координатных функций, можно определить его суммарные перемещения по зависимостям (5.101), (5.103), (5.131) и напряжения – (5.135). Это дает возможность найти длину целика, которая обеспечивает его устойчивость и прочность, а следовательно сохранность горных выработок.

Аналогично, принимая расчетные схемы, в частности, охранных сооружений для непосредственной кровли, стволов, а также других подземных объектов и используя вышеприведенный вариационный метод решения краевых задач, можно определить их параметры, необходимые для надежной работы этих объектов.