Плоское напряженное состояние

Рассмотрим массив горных пород как многослойную плиту под действием внешней нагрузки от массы вышележащей толщи пород и собственной массы .

Зависимости между деформациями и напряжениями для трансверсально изотропного тела согласно обобщенному закону Гука имеют вид

; (5.88)

; ; .

При решении плоской задачи считали, что напряжения в направлении свободных краев деформации в направлении защемленных краев, а также деформации сдвига равны нулю, т.е.

(5.89)

Пусть длины слоев плотностью , толщиной , начиная с верхнего, равны .

Тогда нормальные напряжения соответственно примут вид

;

;

; (5.90)

…………………………………………….. .

Подставляя выражение (5.90) в зависимости (5.88), для -го слоя массива, получим

(5.91)

Найдем перемещение для плиты, которое понадобится в дальнейшем при определении координатной функции от изгиба. К нижнему слою (угольный пласт) приложим силы реакции, передающиеся от основания к плите

, (5.92)

где – обозначен нижний слой плиты;

– модуль основания, или коэффициент постели, Н/м³.

Используя зависимость в общем виде

,

после интегрирования получим

. (5.93)

Для первого слоя () эта зависимость примет вид

(5.94)

При

. (5.95)

Из выражения (5.90) следует

или . (5.96)

Подставляя значение константы (5.96) в (5.90), получим перемещение для первого слоя

. (5.97)

Перемещение в любой точке по высоте первого слоя

(5.98)

Для второго слоя ()

(5.99)

используя условие, что перемещения между первым и вторым слоем равны

,

получим

,

отсюда

. (5.100)

Перемещения в срединной поверхности второго слоя

,

где имеет вид (5.100).

Поступая аналогично для последующих слоев, в результате для последнего слоя получим

, (5.101)

где

(5.102)

.

Перейдем к решению второй части задачи.