![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Понятие оценок параметров
Для увеличения точности измерений, при наличии случайных погрешностей, следует производить не однократное наблюдение измеряемой величины, а многократное. Принято называть значение величины, полученное при отдельном наблюдении, результатом наблюдения, а среднее арифметическое группы результатов наблюдений – результатом измерения. При наличии систематических погрешностей Dсист необходимо в результаты наблюдений предварительно ввести поправки. Для этого от измеренных значений Хiизм надо перейти к исправленным значениям Хiиспр=Хiизм-Dсист. (Как известно из теории вероятностей, этот переход всегда целесообразно выполнять потому, что либо 1) для исправленных значений при заданном доверительном интервале D1, 2 величина доверительной РД вероятности выше, чем для неисправленных значений, мат. ожидание которых смещено относительно истинного значения ХД на величину систематической погрешности Dсист; либо 2) при заданной доверительной вероятности РД доверительный интервал D1, 2для исправленных значений будет меньше, чем для неисправленных значений.) В последующих расчетах будем полагать, что систематические погрешности исключены Dсист=0. В этом случае результат измерений Х равен среднему арифметическому где n-число измерений; Х i – результат i –го наблюдения. Точность измерения при одном и том же числе наблюдений будет тем выше, чем меньше рассеяны результаты отдельных наблюдений. Рассеивание результатов наблюдений характеризуется величиной s - средним квадратическим отклонением (СКО) результатов наблюдений. При ограниченном числе наблюдений определить точное значение СКО невозможно. Наилучшее приближение к СКО (s) называется оценкой СКО ( где При неизвестном ХД вместо действительного значения измеряемой величины ХД используется среднеарифметическое значение
Здесь
Иногда Аналогично можно охарактеризовать рассеивание результатов измерений. С этой целью вводится параметр Если случайные погрешности отдельных результатов измерения подчиняются НЗР, то и погрешности средних значений их повторных рядов также подчиняются НЗР, но уже с другим рассеиванием (дисперсией). Рассеивание средних значений меньше, чем рассеивание результатов отдельных измерений. Оценки СКО результатов измерений и наблюдений связаны соотношением Таким образом, СКО результатов измерений Оценка Доверительные границы случайной погрешности результата измерений D1, 2 - это границы интервала, накрывающего с заданной вероятностью РД случайную погрешность измерения.
Рис. 4.1. К понятию точечных и интервальных оценок
При НЗР случайных погрешностей доверительные границы связаны с оценкой СКО результата измерений соотношением: D1, 2= ± t где t- коэффициент Стьюдента, который зависит от двух параметров: числа наблюдений n в группе выбранной доверительной вероятности РД. Рекомендуется вероятность РДпринимать равной 0.95, а в особо ответственных случаях РД= 0.99 и выше. Рассмотренные выше оценки результата измерения, выражаемые одним числом, называются точечными оценками. Например: ХД = Точечная оценка погрешности измерения неполная, поскольку она указывает на границы интервала, в котором может находиться значение ХД, но ничего не говорит о вероятности попадания ХД в этот интервал. Точечная оценка позволяет сделать лишь некоторые выводы о точности проведенных измерений. При интервальной оценке определяется доверительный интервал ±D1, 2, между границами которого с определенной вероятностью Р Д находится истинное значение оцениваемого параметра (например, действительное значение ХД). Задавшись значением доверительной вероятности РДпри НЗР и n®¥ определяют интервал (в долях s) D1, 2 =ks (4.8)
Полезно помнить следующие значения k для НЗР для различных значений РД (табл.4.1) для n®¥ Таблица 4.1 Значения k для НЗР для различных значений РД для n®¥
Если число измерений ограничено (n¹ ¥), то значение СКО s заменяется его оценкой ±D1, 2 =±t Как видно из табл. 4.2, границы доверительного интервала расширяются по мере уменьшения числа наблюдений n. С ростом n коэффициент Стьюдента t стремится к своему теоретическому значению k (для n ®¥) при заданной РД.
Таблица 4.2
Значения коэффициентов Стьюдента для РД= 0.95 и РД= 0.99
Остановимся более подробно на понятии интервальных оценок. Здесь необходимо понимать принципиальную разницу между доверительными интервалами, определенными по (4.6) и по (4.9) или (4.8), хотя эти формулы внешне почти одинаковы. Смысл доверительного интервала ± D1, 2 =±t Смысл доверительного интервала D1, 2 =t Запись результата измерения в виде ХД=
где D1, 2 =t Суть описанной ситуации прекрасно передал П.М. Тиходеев в своей книге: «Очерки об исходных измерениях». М.: Машгиз, 1954. Он писал: «Смысл итога измерений, например L=20, 00±0, 05, заключается не в том, что L=20, 00, как для простоты считают и как это чаще всего приходится с неизбежностью принимать для последующего применения и расчетов; смысл в том, что истинное значение лежит где-то в границах от 19, 95 до 20, 05 и вовсе необязательно, чтобы оно лежало в середине, а не где-нибудь с краю. К тому же нахождение внутри границ имеет некоторую вероятность, меньшую, чем единица, и, следовательно, нахождение вне границ не исключено, хотя и может быть очень маловероятным.»
Пример. Произведено четырехкратное измерение сопротивления катушки. Определить результат измерения и доверительную границу погрешности результата измерения при РД= 0.99.
Таблица 4.3
1. Определяем среднеарифметическое четырех наблюдений по формуле: 2. Находим случайные отклонения результатов наблюдений по формуле 3. Возводим случайные отклонения в квадрат и находим их сумму: 4. Находим оценку результата СКО по формуле (4.3). Получим:
5. Определяем оценку СКО результата измерения по формуле (4.5). Получим: 6. По табл. 4.2 значений коэффициента Стьюдента для n= 4 и РД = 0.99 находим t=5.84 7. Определяем доверительные границы погрешности результата измерения по формуле (4.6). Получим: D1.2=±5.84 * 3.6*10-4 =±0.0021 Ом Результат измерения запишется в виде: R=100.0086 ±0.0021 Ом при РД=0.99. Если бы мы задались меньшей доверительной вероятностью, например РД=0.95, то получили бы несколько другой доверительный интервал. В этом бы случае найденный по табл. 4.2 коэффициент Стьюдента для n = 4 и РД = 0.95 был бы равен t=3.18 и доверительный интервал D1.2равнялся бы величине D1.2=±3.18 * 3.6*10-4 =±0.0011 Ом. Результат измерения запишется в виде: R=100.0086 ±0.0011 Ом при РД=0.95.
|