Погрешности косвенных измерений

При косвенных измерениях искомое значение величины Y находится на основании функциональной математической зависимости, связывающей эту величину с несколькими величинами (X₁, X₂, …X_n), измеряемыми прямыми методами: Y= f (X₁, X₂, ….X_n)

Абсолютная погрешность результата косвенных измерений определится как (4.11)

Относительная погрешность результата измерения определится как

где -частные относительные погрешности косвенных измерений.

Если результаты прямых измерений X _i определены со среднеквадратичными погрешностями , то

(4.13)

где - частные погрешности косвенного измерения.

В табл. 4.4 приведены значения абсолютных и относительных погрешностей измерения для наиболее часто встречающихся функций.

Таблица 4.4

Основные функции

Функция Y	Погрешности
Абсолютная	Относительная

Необходимо понимать, что все вышесказанное относится только к случайной составляющей D_случ суммарной погрешности D_S =D_метод+D_случ косвенных измерений, (а именно – к приборной составляющей суммарной погрешности) и не затрагивает методическую (или систематическую) составляющую, которая в общем виде определяется по формуле:

(4.14)

Так, например, при измерении косвенным методом «амперметра – вольтметра» электрической мощности P=U I или сопротивления неизбежны методические составляющие погрешности D_метод, обусловленные неидеальностью используемых приборов (R _А ¹ 0, R _B ¹ ¥).

Эти методические составляющие суммарной погрешности могут значительно превышать случайные (или приборные) составляющие D_случ , поэтому их величины необходимо всегда оценивать.

Схема измерения мощности и сопротивления методом «амперметра-вольтметра» имеет два варианта:

Рис. 4.2 Схема измерения мощности и сопротивления методом «амперметра-вольтметра»

Для схемы б) I_Н^изм = I_A= I_Н+I_В > I_Н^ист, следовательно Р^изм > Р^ист, и методическая погрешность измерения мощности .

Аналогично для измерения сопротивления:

(4.15)

Для схемы в) U_н^изм=U_н+DU_А> U_н , где DU_А=I*R_А следовательно P_изм> P_ист; ;

(4.16)

Поясним вышесказанное примером.

Пример: Обработать результаты косвенных измерений сопротивления резистора по показаниям амперметра I =0.1 А и вольтметра U= 100В, Известны данные приборов: конечные значения шкал приборов I_мах = 0.1А; U_мах = 150В и классы точности приборов: g_А=1.0% и g_В =1.0%

Как известно, сопротивление определяется по формуле , т.е. функциональная зависимость косвенных измерений сопротивления типа . Из табл. 4.4 определяем величину абсолютной погрешности измерения сопротивления , где абсолютные погрешности и определяются по данным приборов.

Результат измерения должен быть записан в виде: R_Н=1000 Ом ±18 Ом

Этот результат получен в предположении, что R _А ®0, R _B ®¥, т.е. для идеальных приборов.

Относительная погрешность измерения сопротивления составит

или 1.8%

Однако это только приборная (или случайная) составляющая суммарной погрешности D_S =D_метод+D_случ. Для определения методической составляющей необходимо знать параметры реальных приборов (R _А ¹ 0, R _B ¹ ¥).

Продолжим рассмотрение числового примера.

Пусть проведенные выше измерения R_Н с результатом R_Н=1000 Ом ±18 Ом получены не в предположении идеальности приборов, (R_А®0, R _B ®¥) (рис. 4.3), а при практических измерениях R _Н в схеме (рис. 4.4), когда Е=11В, r_вн=100, R_А=100, R_В=10к – вполне реальные практические значения параметров электромеханических измерительных приборов для таких уровней токов и напряжений. Определим величину измеренного значения R_изм, которую мы получим по показаниям приборов.

Рис. 4.3 Схема контура без приборов

R_Н=1000 - это истинные значения электрических параметров в контуре до включения приборов.

После включения измерительных приборов в контур (например, по схеме б)) вышеуказанные истинные параметры изменятся и примут новые значения, называемые измеренными.

Схема контура примет вид:

Рис. 4.4 Схема контура при включении приборов.

Такой будет совокупность измеренных электрических параметров в контуре при наличии измерительных приборов.

При этом методическая погрешность измерения сопротивления составит: т.е. примерно в 5 раз больше приборной!

Однако, если величина методической погрешности известна (из расчетов), всегда можно от измеренных значений перейти к истинным значениям по формуле: . Так, располагая значением измеренного сопротивления и значением расчетной методической погрешности для выбранной схемы измерения (схема б) на рис. 4.2)

D_метод = -9.1 % мы можем определить

Значение доверительного интервала ±DR= ±18 Ом для этого результата R_H=1000 Ом определено выше по метрологическим данным приборов: g_А; I_мах; g_В; U_мах.