V. Решение нелинейных уравнений методом подбора параметра

Используя возможности Excel можно находить корни нелинейного уравнения в допустимой области определения переменной. Последовательность операций нахождения корней следующая:

1. Уравнение представляется в виде функции одной переменной;

2. Производится табулирование функции в диапазоне вероятного существования корней;

3. По таблице фиксируются ближайшие приближения к значениям корней;

4. Используя средство Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения с заданной точностью.

Рассмотрим последовательность отыскания корней нелинейного уравнения на примере.

Упражнение 5

Требуется найти все корни уравнения X³-0, 01X²-0, 7044X+0, 139104=0 на отрезке [-1; 1]. Правая часть уравнения представлена полиномом третьей степени, следовательно, уравнение может иметь не более трех корней.

1. представим уравнение в виде функции

Y = X³-0, 01X²-0, 7044X+0, 139104

Известно, что корни исходного уравнения находятся в точках пересечения графика функции с осью Х.

2. Для локализации начальных приближений необходимо определить интервалы значений Х, внутри которых значение функции пересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет знак. С этой целью табулируем функцию на отрезке [–1; +1] с шагом 0, 2, получим табличные значения функции. Из полученной таблицы находим, что значение функции трижды пересекает ось Х, следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке все три корня.

3. Анализ таблицы показывает, что функция меняет знак в следующих интервалах значений аргумента Х: (-1; -0, 8), (-0, 2; 0, 4) и (0, 6; 0, 8). Поэтому в качестве начальных приближений возьмем значения Х: -0, 8; -0, 2 и 0, 6.

4. На свободном участке рабочего листа, как показано на рисунке, в ячейки А15: A17 введите начальные приближения, а соответствующие ячейки столбца В скопируйте формулу.

5. Выполните команду меню Сервис/Параметры, во вкладке Вычисления установите относительную погрешность вычислений E=0, 00001, а число итераций N=1000, установите флажок Итерации.

6. Выполните команду меню Сервис/Подбор параметра. В диалоговом окне заполните следующие поля:

Установить в ячейке: в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула правой части функции;

Значение: в поле указывается значение, которое должен получить полином в результате вычислений, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0);

Изменяя значение: в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается формула.

После щелчка на ОК получим значение первого корня: -0, 92.

Выполняя последовательно операции аналогичные предыдущим, вычислим значения остальных корней: -0, 209991 и 0, 720002.