Нормальный закон распределения случайных величин

Нормальный закон распределения(закон Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей. Во-первых, это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения непрерывных случайных величин. Во-вторых, он являетсяпредельным законом в том смысле, что к нему при определенных условиях приближаются другие законы распределения.

Нормальный закон распределения характеризуется следующей формулой для плотности вероятности:

, (26)

где х – текущие значения случайной величины X; М (X) и s – ее математическое ожидание и стандартное отклонение. Из (26) видно, что если случайная величина распределена по нормальному закону, то достаточно знать только два числовых параметра: М (Х) и s, чтобы полностью знать закон ее распределения.

График функции (26) называется нормальной кривой распределения (кривой Гаусса). Он имеет симметричный вид относительно ординаты х = М (Х). Максимальная плотность вероятности, равная » , соответствует математическому ожиданию М (Х) = ; по мере удаления от нее плотность вероятности f (х) падает и постепенно приближается к нулю (рис. 5).

Величина М (Х) называется также центром рассеяния. Среднеквадратичное отклонение s характеризует ширину кривой распределения.

При изменении значения М (Х) в (26) нормальная кривая не меняется по форме, но сдвигается вдоль оси абсцисс. С возрастанием s максимальная ордината кривой убывает, а сама кривая, становясь более пологой, растягивается вдоль оси абсцисс, при уменьшении sкривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков. Вид кривой распределения при разных значениях s: (s₃< s₂< s₁) показан на рис.6.

Естественно, что при любых значениях М (Х) и s площадь, ограниченная нормальной кривой и осью Х, остается равной 1 (условие нормировки):

f (х) dх = 1, или f (х) dх = 1.

Нормальное распределение симметрично, поэтому
М (Х) = Мо (Х) = Ме (Х).

Вероятность попадания значений случайной величины Х в интервал (x ₁, x ₂), т.е. Р (x ₁ < Х< x ₂), равна:

Р (x₁ < Х < x₂) = . (27)

На практике часто приходиться вычислять вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины на участки, симметричные относительно М (Х). В частности, рассмотрим следующую, важную в прикладном отношении задачу. Отложим от М (Х) вправо и влево отрезки, равные s, 2s и 3s (рис. 7) и проанализируем результат вычисления вероятности попадания Х в соответствующие интервалы:

Р (М (Х) – s < Х< М (Х) + s) = 0, 6827 = 68, 27 %. (28)

Р (М (Х) – 2s < Х< М (Х)+ 2s) = 0, 9545 = 95, 45 %. (29)

Р (М (Х) –3s < Х< М (Х) + 3s) = 0, 9973 = 99, 73 %. (30)

Из (30) следует: практически достоверно, что значения нормально распределенной случайной величины Х с параметрами М (Х) и s лежат в интервале М (Х) ± 3s. Иначе говоря, зная М (Х) = и s, можно указать интервал, в который с вероятностью Р = 99, 73% попадают значения данной случайной величины. Такой способ оценки диапазона возможных значений Х известен как «правило трех сигм».

Пример. Известно, что для здорового человека р Н крови является нормально распределенной величиной со средним значением (математическим ожиданием) 7, 4 и стандартным отклонением 0, 2. Определите диапазон значений этого параметра.

Решение: для ответа на этот вопрос воспользуемся “правилом трех сигм”. С вероятностью равной 99, 73% можно утверждать, что диапазон значений р Н для здорового человека составляет 6, 8 – 8.

Задачи

1. Задают ли законы распределения дискретной случайной величины следующие таблицы?

1) 2)

Ответ: закон распределения задает только первая таблица

2. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения:

1) Найдите вероятность р ₁= Р (Х =3) и р ₃= Р (Х =5), если известно, что р ₃ в 4 раза больше р _1..

2) Получив ответ на первый вопрос, постройте многоугольник распределения.

Ответ: р ₁=0, 05; р ₃=0, 2

3. Плотность распределения случайной величины Х задана функцией

Найдите вероятность того, что значение случайной величины Х принадлежит интервалу (2, 3).

Ответ: 0, 2

4.

Запишите аналитическое выражение для плотности вероятностей.

Ответ: f (x) = 0 при | x | > 1
f (x) = x +1 при –1< x ≤ 0
f (x) = - x +1 при 0< x ≤ 1)

5. Найдите математическое ожидание дискретной случайной величины, закон распределения которой задан таблицей

Ответ: 5

6. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х задана функцией:

Найдите математическое ожидание случайной величины Х.

Ответ: 1, 5.

7. Длительность жизненного цикла (в днях) для некоторого растения является случайной величиной Х с функцией плотности вероятности f(x) = при 0≤ х ≤ 200 и f (х) = 0 при любых других значениях х. Определите среднюю длительность жизненного цикла у этого растения.

Ответ: 133, 3 дня.

8. Дискретная величина Х имеет закон распределения:

Чему равна вероятность р ₄?

Найдите математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение и моду этой случайной величины.

Ответ: р ₄=0, 24; М (Х)=0, 58; D (X)=0, 068; s(Х)=0, 26; Мо =0, 6).

9. Экспериментальная операция длится не менее 4 мин., но для ее завершения никогда не требуется более 10 мин. Определим случайную величину Т как время, необходимое для выполнения операции и допустим, что функция плотности вероятности для Т имеет вид: f (t) = k (t –4) × (10 – t) на интервале 4 £ t £ 10. Найдите значение постоянной k для этой f (t).

Ответ: 1/36.

10. Найдите числовые характеристики М (Х), D (Х), s(Х) непрерывной случайной величины Х, заданной плотностью вероятности:

f (х) =

Ответ: М (Х) = 2/3; D (Х) = 1/18; s(Х)» 0, 24.

11. Запишите плотность распределения для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, если М (Х) = 3, D (Х) = 4.

Ответ:

12. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием М (Х) = 10. Вероятность попадания Х в интервал (10, 20) равна 0, 3. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0, 10)?

Ответ: 0, 3.

13. Длина интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0, 9973 попадают значения некоторой случайной величины, распределенной нормально, равна 30 ед. длины. Найдите стандартное отклонение.

Ответ: 5 ед. длины.

14. Диастолическое давления крови у женщин, страдающих гипертонической болезнью, в среднем равно 95 мм рт. ст., стандартное отклонение – 15 мм рт.ст. Определите интервал возможных значений этой величины, считая, что она распределена по нормальному закону.

Ответ: (50 – 140)мм рт.ст.

15. Считая, что случайная величина Х – диаметр лекарственной таблетки – распределена по нормальному закону с параметрами = 10 мм, s= 0, 1 мм, найдите интервал, в котором с вероятностью 95, 45 % будут заключены эти диаметры. Если в партии 3000 таблеток, то сколько из них окажется в этом интервале?

Ответ: (9, 8 – 10, 2)мм; 2864 табл.

* В этом случае считают, что значения некоторой случайной величины Х могут лежать в интервале (-¥; ¥), т.е. на всей числовой оси.

* Обычно случайные величины обозначают прописными буквами латинского алфавита, а их возможное значение и вероятности этих значений – строчными.

* Приведем пример, поясняющий этот факт. Пусть случайная величина – уровень осадков, выпавших за год. Она может принимать любые значения из некоторого интервала. Однако, вероятность того, что в заданный год этот уровень окажется точно равен 40 см, фактически равна 0.

** Иногда рассматривают интервал (– ¥; + ¥)