Метод взвешенной скользящей средней

Недостатком методов простой и взвешенной скользящей средней является невозможность сгладить первые и последние p наблюдений временного ряда. Отсутствие сглаженных последних наблюдений является большой проблемой, в случае, если целью исследования является прогнозирование развития процесса.

Существуют методы, позволяющие получить сглаженные значения последних уровней так же, как и всех остальных. К их числу относится метод экспоненциального сглаживания.

Особенность этого метода заключена в том, что в процедуре выравнивания каждого наблюдения используются только значения предыдущих уровней, взятых с определенным весом. Вес каждого наблюдения уменьшается по мере его удаления от момента, для которого определяется сглаживаемое значение. Сглаженное значение наблюдения ряда на момент времени t определяется по формуле:

,

(11)

где - сглаживающий параметр, характеризующий вес выравниваемого наблюдения, причем .

Величину в формуле (10) можно представить в виде суммы фактического значения уровня и сглаженного значения предшествующего ему наблюдения , взятых с соответствующими весами. Процесс такого разложения можно продолжить для членов , и т.д. В результате получится следующее выражение:

(12)

Таким образом, сглаженное значение является взвешенной суммой всех предшествующих уровней ряда. Величина характеризует начало условия процесса.

Формулу (11) можно переписать короче через знак суммы:

,

(13)

где .

Сомножитель , стоящий перед в каждом слагаемом, является относительным весом, который определяет величину вклада соответствующего уровня ряда в общую сумму. Поскольку , то и , поэтому с увеличением значение уменьшается. Относительный вес каждого предшествующего уровня снижается по экспоненте по мере его удаления от момента, для которого вычисляется сглаженное значение, т.е. от давности наблюдения (отсюда произошло название этого метода сглаживания).

При практическом использовании метода экспоненциального сглаживания возникают следующие затруднения: выбор сглаживающего параметра и определение начального условия y₀. От численного значения параметра a зависит, насколько быстро будет уменьшаться вес предшествующих наблюдений и в соответствии с этим степень их влияния на сглаживаемый уровень. Чем больше значение параметра , тем меньше сказывается влияние предшествующих уровней и соответственно меньшим оказывается сглаживающее воздействие экспоненциальной средней.

Задачу выбора параметра y₀, определяющего начальные условия, предлагается решать следующим образом: если есть данные о развитии процесса в прошлом, то их среднее значение можно принять в качестве y_0, если таких сведений нет, то в качестве y₀ используют исходное (первое) значение наблюдения временного ряда y₁.

Автокорреляционная функция. Коррелограмма

При наличии во временном ряду тенденции и циклических изменений значения последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью индекса корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Пусть задан временный ряд: и пусть имеет место линейная корреляция между y_t и y_t-1.

Определим коэффициент корреляции между рядами у_t и у_t-1.

Для этого воспользуемся следующей формулой для вычисления корреляции между величинами и

(14)

Полагая = у_t-1 и = у_t,, получим

,	(15)
где .,	(16)

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда 1-го порядка.

Аналогично определяются коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции 2-го порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:

,	(17)
где ,	(18)

Порядок уровня ряда автокорреляции называется лагом.

Для формулы (14) лаг равен единице, для (16) –двум.

Коэффициент автокорреляции порядка t в общем случае вычисляют по формуле

(19)

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда (АКФ). Значения автокорреляционной функции могут колебаться от -1 до +1.

График зависимости ее значений от величины лага называется коррелограммой.

АКФ и коррелограмма позволяют определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущим уровнями ряда наиболее тесная, т.е. с их помощью можно выявить структуру ряда.

Коэффициент автокорреляции и АКФ целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической компоненты:

§ ­если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции 1-го порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию;

§ ­если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции k -го порядка, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в k -моментов времени;

§ ­если, ни один из коэффициентов не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений, относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических изменений и имеет структуру, сходную со структурой ряда, изображенного на рис.1. в, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Аналитическое выравнивание временных рядов

Аналитическое выравнивание временного ряда – метод обработки временного ряда с целью устранения случайных колебаний, путем построения аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени. Т.е. аналитическая функция описывает трендовую составляющую временного ряда.

Аналитические методы выделения (оценки) тренда реализуются, как правило, с помощью метода наименьших квадратов, в которых в роли зависимой переменной выступает переменная y_t, а в роли единственной объясняющей переменной - время t. Для нелинейных зависимостей необходима линеаризация.

Для описания процессов без предела роста (т.е. без видимого ограничения уровней ряда) служат функции, перечисленные в табл.2.

Процессы развития такого типа характерны в основном для абсолютных объемных показателей.

Таблица 2.

	Исходная функция
линейная
квадратичная
экспоненциальная
показательная
степенная
равносторонняя гипербола

Для описания процессов с пределом роста служат функции: кривая Джонсона, модифицированная экспонента и др.[7].

Процессы с пределом роста характерны для многих относительных показателей (душевое потребление продуктов питания, внесение удобрений на единицу площади, затраты на один рубль произведенной продукции и т.п.).

Для описания процессов третьего типа - с пределом роста и точкой перегиба используются кинетическая кривая (кривая Перла - Рида) и кривая Гомперца [7].

Такой тип развития характерен для спроса на некоторые новые товары.

Математические методы позволяют представить прогнозирующую модель в виде полинома любого порядка. Однако без необходимости использование полиномов высокого порядка представляется излишним.

Выбор функции тренда можно провести несколькими способами. Простейшим способом является визуальный, при котором вид функции определяется с помощью вида графика зависимости уровня ряда – y_t от времени t.

Другим способом является анализ показателей роста и прироста (табл.1). Если первые разности примерно одинаковы, то целесообразно использовать линейную функцию для описания тенденции. Если примерно равны вторые разности или абсолютное ускорение , то используем квадратичную функцию. Если примерно постоянен коэффициент роста для t-го периода: то можно использовать экспоненциальную или степенную функции.