Произвольные дискретные распределения

Пример 1. Дискретная СВ X задана рядом распределения.

Найти: 1) функцию распределения F (x);

2) M (X), D (X), s(X), моду M ₀(X);

3) P (2≤ X < 8).

Решение. 1) Найдем функцию распределения F (x) и построим ее график. Для дискретной СВ X по формуле (1.8)

2) Найдем числовые характеристики распределения ДСВ X. По определению математическое ожидание

M (X) = 1 × 0, 3 + 2 × 0, 2 + 4 × 0, 1 + 6 × 0, 3 + 8 × 0, 1 =

= 0, 3 + 0, 4 + 0, 4 +1, 8 + 0, 8 = 3, 7.

Для вычисления дисперсии D (X) используем формулу (1.21) где

= 1² × 0, 3 + 2² × 0, 2 + 4² × 0, 1 + 6² × 0, 3 + 8² × 0, 1 =

= 0, 3 + 0, 8 + 1, 6 +10, 8 + 6, 4 = 19, 9

D (X) = 19, 9 – (3, 7)² = 6, 21.

По формуле (1.22) найдем среднее квадратическое отклонение,

Данное распределение является бимодальным, так как максимальная вероятность p = 0, 3 соответствует двум значениям СВ X.

M ₀ = 1 или M ₀ = 6

3) Найдем вероятность P (2≤ X < 8).

При непосредственном вычислении вероятность равна

P (2≤ X < 8) = P (X = 2) + P (X = 4) + P (X = 6) = 0, 2 + 0, 1 + 0, 3 = 0, 6

Если используем функцию распределения, то получим тот же результат.

P (2≤ X < 8) = F (8) – F (2) = 0, 9 – 0, 3 = 0, 6.

Пример 2. В партии из 10 изделий 6 изделий высшего сорта и 4 первосортных. Наудачу выбираются 3 изделия. Составить ряд распределения случайной величины X – числа изделий первого сорта среди отобранных. Найти M (X) и s(X).

Решение. Дискретная случайная величина X может принимать следующие значения: x ₁ = 0, x ₂ = 1, x ₃ = 2, x ₄ = 3. Распределение СВ X – гипергеометрическое, с параметрами N = 10, M = 4, n = 3.

В соответствии с общей формулой (1.31)

можно утверждать, что для рассматриваемого примера

Используя эту формулу, получим:

Выполним проверку:

Составим ряд распределения случайной величины X:

xi
pi

Найдем M (X) по формуле (1.16)

По формуле (1.22)

найдем среднее квадратическое отклонение, при этом для вычисления дисперсии D (X) воспользуемся формулой (1.21)

где

Тогда

Пример 3. В партии из 10 изделий 6 изделий высшего сорта и 4 первосортных. Наудачу по одному, одно за другим, без возвращения в партию выбираются изделия до тех пор, пока не будет выбрано изделие высшего сорта. Составить ряд распределения случайной величины X – числа отобранных при этом изделий первого сорта. Найти F (X) и M (X).

Решение. Множество возможных значений дискретной случайной величины X: {0; 1; 2; 3; 4}.

Найдем вероятности, соответствующие этим значениям.

Пусть событие А_i – i -ое выбранное изделие первого сорта. Тогда – i -ое выбранное изделие высшего сорта. Так как события A_i зависимые, то при определении вероятностей P (X = x_i) будем использовать теорему умножения вероятностей для зависимых сомножителей.

Выполним проверку:

Составим ряд распределения СВ X:

xi
pi

Найдем функцию распределения F (x). Для этого разделим числовую ось на непересекающиеся промежутки возможными значениями случайной величины X и найдем значения F (x) на каждом из промежутков, используя формулу (1.8)

Итак,

Найдем M (X) по формуле (1.16)