Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Главные оси и главные напряжения






 

Рассмотрим множество секущих площадок, проходящих через рассматриваемую точку. По нормали к каждой площадке отложим вектор r с координатами: x = rl, y = rm, z = rn.

Выразим направляющие косинусы через координаты и длину вектора:

 

l = x/r, m = y/r, n = z/r.

 

Подставляя эти выражения в полученную ранее формулу для напряжения на произвольной площадке, получим:

 

,

 

откуда длина вектора r

, где k – масштабный коэффициент, равный

.

 

Полученное выражение является уравнением центральной поверхности второго порядка, центр которой совпадает с центром координат. При определенном положении системы координат уравнение преобразуется к виду, в котором попарные произведения xy, xz, yz исчезают. Это говорит о том, что в каждой точке нагруженного тела существует такая система координат, в которой касательные напряжения на взаимно перпендикулярных координатных площадках равны нулю. Оси такой системы координат называются главными осями, координатные площадки – главными площадками, а соответствующие им нормальные напряжения – главными напряжениями.

Главные напряжения принято нумеровать в порядке убывания, то есть .

 

Классификация напряженных состояний в точке

По количеству главных напряжений, возникающих в точке, все напряженные состояния можно разделить на три группы:

 

1. Одноосное (линейное) напряженное состояние:

 

 

(два главных напряжения равны нулю)

 

2. Плоское напряженное состояние:

(одно главное напряжение равно нулю)

 

3. Объемное напряженное состояние:

(ни одно из главных напряжений не равно нулю).

 

Наиболее распространенными в технике являются линейное и плоское напряженные состояния.

 

Эллипсоид напряжений

Для случая, когда отсутствуют касательные напряжения, компоненты вектора напряжений на произвольной площадке можно выразить следующим образом:

 

 

откуда направляющие косинусы

 

 

Так как , можно записать:

 

 

Полученное уравнение является уравнением эллипсоида. Таким образом, геометрическое место концов вектора полного напряжения представляет собой эллипсоид, полуосями которого являются главные напряжения s 1, s 2, s 3:

 

 

Этот эллипсоид называется эллипсоидом напряжений и представляет собой геометрическую интерпретацию напряженного состояния в точке.

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.006 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал