Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Вынужденные колебания упругой системы с одной степенью свободы






 

Добавим к числу сил, действующих на систему, вынуждающую силу F 0sinW t, где W - частота вынуждающей силы:

При этом уравнение равновесия принимает вид

 

.

Введем обозначение .

Таким образом, дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания упругой системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления имеет вид:

.

 

Примем частное решение данного дифференциального уравнения в виде . Его первая и вторая производная имеют вид

 

,

.

 

Подставляя выражения для и в дифференциальное уравнение, получим

 

.

 

Данное равенство будет выполняться, если

 

 

Из последнего уравнения выразим С2:

 

,

.

 

Преобразуем первое уравнение:

 

 

и подставим в него выражение для C 2:

 

,

.

 

Таким образом, коэффициенты уравнения колебательного процесса принимают вид:

 

; .

 

Введем обозначения:

 

,

.

 

С учетом этих обозначений уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде:

 

.

 

Отсюда видно, что A вынамплитуда вынужденных колебаний, yфазовый сдвиг между вынуждающей силой и вызываемыми ею колебаниями.

Определим амплитуду вынужденных колебаний:

 

,

,

.

 

Выразим массу из формулы для частоты собственных колебаний:

 

.

 

Тогда амплитуда вынужденных колебаний вычисляется по следующей формуле:

 

.

 

Здесь – статическое перемещение точки, за колебанием которой мы наблюдаем. То есть, если амплитудную величину возмущающей силы приложить к данной точке статически (в направлении колебательного процесса), то эта точка получит статическое перемещение .

Тогда представим формулу для амплитуды вынужденных колебаний в следующем виде:

 

,

где - коэффициент динамичности.

 

Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний (динамическое перемещение):

 

.

 

В соответствии с законом Гука напряжение прямо пропорционально деформации, то есть

 

.

 

Если либо , то коэффициент динамичности

 

.

 

График зависимости коэффициента динамичности от отношения частот вынужденных и собственных колебаний:

При : – это случай резонанса.

 

Фазовый сдвиг:

 

.

 

При фазовый сдвиг , т.е. вынуждающая сила достигает максимального значения в момент, когда колебательная система проходит через состояние равновесия. Это и является причиной резонанса.

 

Удар

 

Ударом называется взаимодействие тел, при котором силы взаимодействия резко нарастают или ослабевают за короткий промежуток времени. Удар относится к динамическим видам нагружения.

Можно выделить три вида задач об ударе:

1. Задачи об изменении параметров движения взаимодействующих тел, решаемые аппаратом механики недеформируемого твердого тела.

2. Задачи о напряжениях и деформациях, возникающих во взаимодействующих телах, решаемые аппаратом механики деформируемого твердого тела.

3. Задачи об определении свойств материалов при ударе.

В курсе «Сопротивление материалов» решаются ударные задачи только второго вида: производится расчет на прочность и жесткость элементов конструкций при ударном нагружении. Более общий подход к решению таких задач был предложен доктором технических наук, основателем кафедры «Сопротивление материалов» Тольяттинского политехнического института Георгием Федоровичем Лепиным.

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.01 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал