Свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления

Добавим к числу сил, действующих на систему, силу сопротивления, пропорциональную скорости колебательного процесса :

Тогда сумма проекций сил на ось z:

,

.

Принято обозначать , где n – коэффициент затухания колебаний.

Таким образом, дифференциальное уравнение, описывающее свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления имеет вид:

.

Общее решение данного дифференциального уравнения:

,

где .

Если в начальный момент времени при t = 0 z = 0, то коэффициент C ₂ = 0, и уравнение колебательного процесса принимает вид – «синусоида» с уменьшающейся амплитудой:

Под периодом таких колебаний понимают время между двумя максимальными отклонениями:

.

Отношение двух последовательных максимальных амплитуд A_i и A_{i+ 1} равно

.

Логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом колебательного процесса и является основной характеристикой затухания колебаний.

Рассмотрим природу сил сопротивления.

Различают силы внешнего сопротивления (трение в опорах, аэро- и гидродинамическое сопротивление) и силы внутреннего сопротивления (внутреннее трение, а также силы трения в сочленениях). К числу сил внешнего сопротивления относятся также специально создаваемые для гашения колебаний демпфирующие устройства.

По характеру зависимости сил сопротивления от обобщенных скоростей различают:

1 - силы линейного сопротивления;

2 - кулоново трение;

3 - сухое трение.

Если , то сила сопротивления совершает отрицательную работу, и происходит рассеивание энергии. Такая сила называется диссипативной.

Если , то происходит приток энергии в механическую систему, и сила называется силой отрицательного сопротивления.

Любой материал обладает демпфирующим свойством. Коэффициент демпфирования определяют при крутильных колебаниях по формуле:

,

где - первоначальный угол закручивания, - угол закручивания после 25 циклов крутильных колебаний.