Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Блок схема алгоритма триангуляции
|
|
Обычно, при триангуляции матриц результирующие матрицы сохраняются на месте исходной. При этом матрица W занимает верхний, а L (без диагональных единиц) - нижний треугольник. В этом случае блок-схема расчетного процесса, по существу, совпадает с прямым ходом решения СЛУ метода Гаусса (раздел 3.5.1):
1. Цикл по исключаемым переменным k =1, …, n -1.
2. Цикл по строкам i =2, …, n.
3. 
= r = 
.
4. Цикл по текущим переменным j = i+1, …, n.
5. 
.
6. Next j; Next i; Next k
Пример: Методом триангуляции матрицы проводимостей выполнить расчет электрической сети постоянного тока (рис. 4.1). УУН имеют вид
.
| Рис. 4.1 Электрическая сеть |
Шаг 1.
В процессе преобразования матрицы из второй строки вычитается управляющая, умноженная на 
. Аналогично относительно третьей строки
; 
.
.
Алгоритм решения СЛУ методом Гаусса с триангуляцией матрицы может быть представлен в виде последовательности следующих макроопераций:
1. Разложение исходной матрицы A на треугольные сомножители L и W.
2. Решение вспомогательной СЛУ 
с нижней треугольной матрицей L.
3. Решение СЛУ 
с верхней треугольной матрицей W.
Решение системы
Решение системы 
4.2. Вычисление определителя
Триангуляция матрицы позволяет не только решить СЛУ, но и является основой наиболее эффективных методов нахождения определителя и обратной матрицы.
Известно, что определитель любой треугольной матрицы A равен произведению диагональных элементов. Это доказывается достаточно просто через последовательное разложение определителя по столбцам. Например,
.
Отсюда определитель нижней треугольной матрицы L равен единице, а верхней треугольной матрицы 
.
Известно, что определитель произведения матриц равен произведению определителей. В результате 
. Другое доказательство этого положения заключается в том, что преобразование строк матрицы А в алгоритме Гаусса не меняет определителя, следовательно, определители исходной матрицы А и верхней треугольной матрицы W, полученной в результате выполнения прямого хода совпадают.
Пример:
.
Алгоритм гауссовского исключения может быть рекомендован не только для расчетов на ЭВМ, но и ручных расчетов определителей матриц порядка 4 и выше.