![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Алгоритм триангуляции
Основная идея метода Гаусса широко используется в различных алгоритмических модификациях. Выбор алгоритма решения СЛУ в электроэнергетике должен учитывать следующие особенности уравнений, описывающих установившиеся режимы энергосистемы: При анализе режимов ЭЭС рассматриваются изменяющиеся во времени нагрузки узлов для сетей постоянной конфигурации, где матрица проводимостей Y остается неизменной. Изменяется только правая часть СЛУ (токи, мощности). Следовательно, требуется выбрать такой алгоритм, который в максимальной степени учитывает специфику постоянства матрицы проводимостей. Анализ (3.8) позволяет видеть, что при повторных расчетах, связанных с изменением правой части СЛУ выполняются одни и те же преобразования матрицы коэффициентов { Это оказывается возможным благодаря так называемой процедуре триангуляции, согласно которой матрица коэффициентов представляется в виде произведения двух треугольных матриц A = LW, причем одна из них (L) является треугольной «снизу», а другая (W) – треугольной «сверху». Представление A = LW называется треугольным разложением или триангуляцией матрицы. Решение системы линейных уравнений с триангулированной матрицей коэффициентов сводится к двум решениям систем уравнений с треугольными матрицами. Предположим, что требуется решить систему уравнений:
причем A = LW. Заменив в (4.1) A на LW, получаем
Обозначим
Из первого матричного уравнения решением СЛУ с треугольной матрицей L определяется вектор Рассмотрим триангуляцию квадратной матрицы, т.е. разложение её на треугольные сомножители. Прежде всего, проанализируем формулу (3.8) преобразования коэффициентов в прямом ходе метода Гаусса:
По существу, данная формула означает вычитание на шаге k (исключение переменной xk) умноженной на коэффициент Следует отметить, что любое преобразование матрицы (например, вычитание из какой-либо строки другой, умноженной на некоторый коэффициент) означает ее умножение на некоторую, совершенно определенную матрицу, или иначе, если в результате преобразования матрицы А получена матрица W, то можно записать А = LW. В приведенном ниже примере матрица W получена из А вычитанием первой строки из второй, а матрица L получена по некоторому, известному нам правилу.
Таким образом, в примере показано, что действительно, существует матрица L, характеризующая линейные преобразования исходной матрицы. Можно показать, что матрица L формируется последовательно из управляющих столбцов в процессе гауссовского исключения переменных. Один шаг эквивалентен преобразованию с матрицей, построенной из единичной заменой k-го столбца управляющим столбцом. В частности, на первом шаге А = L 1 W 1, на втором W 1 = L 2 W 2, на n -1 W n-2 = L n-1 W n-1 = L n-1 W. Отсюда А = LW, где результирующая матрица определяется произведением L = L 1 L 2… L n-1 и представляет собой совокупность управляющих столбцов.
Матрица W является результатом процесса исключения переменных или последовательно формируется из управляющих строк
Свойство симметричности матрицы проводимостей (
т.е. столбец k матрицы L равен транспонированной строке k матрицы W, деленной на ее диагональный элемент.
|