Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Закон полного тока.
|
|
Закон полного тока, или теорема о циркуляции вектора 
, которая будет рассмотрена ниже, позволяет находить напряженность магнитного поля при наличии симметрии токов без применения закона Био – Савара - Лапласа. Это дает возможность существенно упростить вычисления в ряде случаев.
Основное отличие магнитного поля от электростатического состоит в том, что магнитное поле непотенциально.
Докажем это.
Рассмотрим магнитное поле бесконечного прямолинейного проводника с током.
Силовые линии (линии напряженности) этого поля представляют собой окружности, плоскости которых перпендикулярны к проводнику, а центры лежат на оси проводника.
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль произвольной силовой линии L равна 
.
При этом L - окружность радиуса r,
Модуль напряженности по закону Био –Савара-Лапласа равен 
.
Вектор направлен по касательной к окружности, поэтому 
Тогда 
(1)
- циркуляция вектора вдоль силовой линии не равна нулю, следовательно, магнитное поле прямолинейного тока непотенциально.
Из выражения (1) следует, что циркуляция вектора магнитного поля прямолинейного тока одинакова вдоль любой силовой линии и равна силе тока.
Формула (1) справедлива для замкнутого контура L произвольной формы, охватывающего бесконечно длинный прямолинейный проводник с током I.
Действительно, рассмотрим контур (силовую линию) произвольной формы (рис.6).
Точка А этого контура находится на расстоянии r от оси проводника с током.
Из оси проводника проведем окружность радиуса r через точку А.
Тогда вектор направлен по касательной к этой окружности, следовательно, он перпендикулярен к радиус вектору 
.
Элемент силовой линии 
в точке А направлен по касательной к контуру L.
Тогда 
,
где 
– длина проекции вектора 
на направление вектора .
Но малый отрезок касательной к окружности радиуса r можно заменить дугой этой окружности: 
,
где 
– центральный угол, под которым виден элемент 
контура L из центра окружности. Тогда: 
,
а циркуляция вектора равна: 
(2)
- результат тот же, что и для случая, когда L - окружность.
Таким образом, циркуляция вектора напряженности магнитного поля прямолинейного проводника с током I вдоль замкнутого контура произвольной формы, охватывающего проводник, не зависит от формы контура и численно равна силе тока I.
Рассмотрим случай, когда контур 
не охватывает проводник с током (рис.7).
В этом случае циркуляция вектора по контуру L равна сумме циркуляций вектора по участку контура 1 a 2 и участку контура 2 b 1, т.е.
(3)
- циркуляция вектора напряженности магнитного поля прямолинейного проводника с током вдоль замкнутого контура, не охватывающего этот проводник, равна нулю.
Можно показать, что формулы (2) и (3) являются универсальными, т.е. справедливы для проводника любой формы и размеров.
На практике магнитное поле создается, как правило, несколькими проводниками, по которым текут токи 
, 
, …, 
.
Каждый проводник с током создает магнитное поле напряженностью 
(
).
Согласно принципу суперпозиции, напряженность результирующего поля равна: 
.
Циркуляция вектора напряженности вдоль произвольного замкнутого контура L равна:
.
Но, согласно формулам (2) и (3),
· 
, если контур L охватывает ток ;
· 
0, если контур L не охватывает тока .
Таким образом, 
. (4)
В выражении (4) индекс i заменен индексом k для того, чтобы подчеркнуть, что в эту сумму входят только токи, охватываемые контуром L.
Формула (4) выражает закон полного тока для токов проводимости: циркуляция вектора напряженности магнитного поля постоянного электрического тока вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме токов, охватываемых эти контуром.
· Если контур несколько раз охватывает ток, то величина тока учитывается столько раз, сколько раз контур обвивается вокруг тока с учетом направления обхода и знака тока.
· Если токи текут непрерывно по поверхности S, то сумму токов 
можно заменить интегралом: 
, где 
- вектор плотности тока.
Тогда закон полного тока (4) принимает вид: 
,
или 
. (5)
Здесь 
(мы рассматриваем поле в вакууме), L – контур, на который опирается поверхность S.
Согласно теореме Стокса 
,
тогда из (5) получаем: 
, 
(6)
- ротор вектора магнитной индукции 
отличен от нуля – магнитное поле непотенциально.
Поле, ротор которого отличен от нуля, называется вихревым или соленоидальным.
Выражение (6) представляет собой дифференциальную форму записи закона полного тока.
С помощью закона полного тока (6) найдем напряженность магнитного поля внутри соленоида.
· Будем считать соленоид бесконечным.
· 
Если витки соленоида расположены вплотную или очень близко друг к другу, то соленоид можно приближенно рассматривать как систему большого числа последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса, центры которых лежат на оси соленоида, а плоскости ортогональны ей. Легко видеть, что линии магнитной индукции соленоида параллельны его оси (рис. 8).
· Все поле сосредоточено внутри соленоида, вне соленоида поля нет и 
.
Для нахождения H выделим участок соленоида длины 
, на котором расположено 
витков, (n - число витков на участке соленоида единичной длины), и проведем контур 1234. Согласно закону полного тока (4) имеем:
.
На участках 1, 2 и 3, 4 контур перпендикулярен к вектору , поэтому 
и
.
Участок 4, 1 находится вне соленоида, следовательно, 
и ,
следовательно, 
.
Тогда 
, и 
.
Сократив на , окончательно получаем: 
.
Из этого выражения видно, что не зависит ни от расстояния до оси соленоида, ни от размеров самого соленоида.
При фиксированном значении силы тока 
, поле соленоида однородно.
7. Сила Ампера.
Ампер
· исследовал действие магнитного поля на проводники с током
· показал, что сила F, действующая на прямолинейный проводник с током, находящийся в однородном магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике, его длине , магнитной индукции и синусу угла 
между направлениями тока в проводнике и вектором : 
.
В случае неоднородного магнитного поля и проводника произвольной формы перейдем к бесконечно малым приращениям, имеем:
.
-коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единицы измерения.
В СИ 
.
Будем считать, что элемент проводника перпендикулярен вектору ,
тогда 
- магнитная индукция - численно равна силе, действующей со стороны поля на единицу длины проводника, по которому течет электрический ток единичной силы и который расположен перпендикулярно к направлению магнитного поля.
Т.е. магнитная индукция является силовой характеристикой поля.
Направление силы 
определяется по правилу левой руки:
Если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входили линии магнитной индукции, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению электрического тока в проводнике, то отставленный большой палец укажет направление силы, действующей на проводник со стороны поля.
Если не перпендикулярен , то вектор совпадает по направлению с векторным произведением 
- вектор направлен перпендикулярно к плоскости, образованной векторами и таким образом, чтобы из конца вектора вращение от вектора 
к вектору по кратчайшему пути происходило против часовой стрелки.
Закон Ампера в векторной форме имеет вид: 
.
Силы электромагнитного взаимодействия не являются центральными и всегда перпендикулярны к линиям магнитной индукции.
Рассмотрим два длинных прямоугольных проводника, которые расположены параллельно друг к другу.
Расстояние между проводниками а.
При пропускании тока по проводникам между ними возникает сила взаимодействия.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1). Пусть токи и в проводниках направлены в одну сторону (рис.9а).
В этом случае проводники притягиваются друг к другу. Каждый из проводников создает вокруг себя магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник.
При этом на элемент второго проводника с током действует сила 
:
.
Если а < < , то проводник можно считать бесконечно длинным, тогда 
,
при этом 
, 
, имеем 
.
Для 
выражение примет такой же вид.
Оно симметрично для обоих проводников, поэтому 
,
Тогда 
.
2) Если токи противоположны по направлению, то проводники отталкиваются (рис.9б).
Единицы измерения в системе СИ:
магнитная индукция - B =[Тл] – тесла;
напряженность магнитного поля H =[ 
] - ампер на метр.